Question

[Việt Nam vô địch]

chứng minh rằng : ( 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² ) chia hết cho 7

Answer 1

[Khánh Vy]

ta có : \(2222\equiv3\)( mod 7 )  \(2222\equiv-4\) ( mod 7 ) ; 

            \(5555\equiv4\) ( mod 7 )

\(\Rightarrow\left(2222^{5555}+5555^{2222}\right)\equiv\left[\left(-4\right)^{5555}+4^{2222}\right]\) ( mod 7 )

\(\Rightarrow\left(2222^{5555}+5555^{2222}\right)\equiv-4^{2222}\left(4^{3333}-1\right)\) ( mod 7 )

Lại có : \(4^{3333}=\left(4^3\right)^{1111}=64^{1111}\) mà \(64\equiv1\) ( mod 7 ) nên \(4^{3333}\equiv1\) ( mod 7 )

\(\Rightarrow4^{3333}-1\equiv0\) ( mod 7 ) \(\Rightarrow-4^{2222}\left(4^{3333}-1\right)\equiv0\) ( mod 7 )

hay \(\left(2222^{5555}+5555^{2222}\right)⋮7\)

Answer 2

[♥̳H̳ả̳i̳̳Q̳̳u̳a̳̳y̳̳X̳̳e̳ ( •тєαм ν...]

2222555522225555+ 5555222255552222 chia hết cho 7

Ta có : 2222 ≡ 3 (mod 7) (1)

⇒ 2222422224 ≡ 3434 (mod 7)

⇒ 2222422224 ≡ 81 (mod 7)

       Mà 81 ≡ 4 (mod 7)

⇒ 2222422224 ≡ 4 (mod 7) (2)

Nhân (1) với (2) ta được:

⇒ 2222422224 . 2222 ≡ 4.3 (mod 7)

⇒ 2222522225 ≡ 12 (mod 7) ≡ 5 (mod 7)

⇒ 2222555522225555 ≡ 5111151111 (mod 7) (3)

Tương tự như vế trên ta được: 

5555222255552222≡ 2111121111 (mod 7) (4)

Cộng vế (3) và (4) ta có:

2222555522225555+ 5555222255552222 ≡ 2111121111 + 5111151111 ( mod 7 ) (5)

Mặt khác: 2111121111 + 5111151111 ≡ 2+5 ( mod 7 ) ≡ 7 ( mod 7 ) ≡ 0 ( mod 7 ) (6)

Từ (5) ; (6) ⇒ 2222555522225555+ 5555222255552222≡ 0 ( mod 7 )

                 ⇒ 2222555522225555+ 5555222255552222 chia hết cho 7 (đccm)