PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
1
BH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
Lời giải:
Vì $A+B+C=1$ ta có:
$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$
$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$
hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$
VK
4
3 tháng 5 2016
Mình trình bày hơi tắt 1 chút nhé 
Vì \(a+b+c=1\) nên \(\begin{cases}a+b=1-a\\a+c=1-b\\b+c=1-c\end{cases}\)
Ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8abc\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (đpcm)
8 tháng 1 2021
hơn 1 năm rồi không ai làm :'(
a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
KN
1
KN
17 tháng 8 2020
\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\le\sqrt{ab+bc+ca}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\) chứ ạ?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2020
- Nếu cả 3 số đều ko âm thì \(abc\le\frac{1}{27}\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng
- Nếu 2 trong 3 số không âm thì \(abc\le0\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng
Do đó ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 2 số âm, 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\a;b< 0\end{matrix}\right.\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=-p\\b=-q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p;q;c>0\)
\(\Rightarrow c-p-q=1\Rightarrow c=p+q+1\)
BĐT trở thành: \(8pq\left(p+q\right)-8\le\left[\left(p+q\right)^2+p+q-pq-1\right]^2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}p+q=x>0\\pq=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2\ge4y\)
Ta cần c/m: \(8y\left(x+1\right)-8\le\left(x^2+x-y-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-x^2-10xy-2x+y^2-6y+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8+\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\)
Do \(\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x^2-10x\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3-4x^2-4x+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+3x+4\right)\ge0\) (luôn đúng với \(x>0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow p=q=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;3\right)\) và hoán vị
//Hơi trâu bò :(
PT
2
CL
17 tháng 12 2017
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)* Đúng*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
LB
18 tháng 12 2017
C/M \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
theo bđt cosi ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a^2bc}}=\dfrac{2}{a}\\\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab})\ge2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)
\(=8abc=VP\)
Khi \(a=b=c\)
BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc
TA có BDT cô si
a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)
Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc