NK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
CB
1
18 tháng 6 2021
ta có: \(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10=>\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2=100\)
áp dụng BDT Bunhia
\(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\le\sqrt{\left(1+2^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(=>100\le5\left(x+y\right)=>x+y\ge\dfrac{100}{5}=20\)
NA
1
8 tháng 7 2016
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\ge\frac{100}{5}=20\Rightarrow x+y\ge20\)
NA
2
LA
1
30 tháng 6 2018
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)(1)
thay \(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10\)vào 1 ta đc \(10^2\le5\left(x+y\right)< =>x+y\ge20\)
30 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Mincopxki và AM-GM ta có:
\(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\dfrac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\dfrac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+80}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
8 tháng 4 2021
a) Giả sử \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y\in R\)).
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow x=y\).
Vậy \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\).
8 tháng 4 2021
Đặt \(A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Và đặt \(B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Đặt \(\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)\)thì theo đề bài : \(m+n+p=2\)
Lúc đó:
\(A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}\)
\(A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}\)
Và \(B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}\)
Xét hiệu \(A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)\)
\(\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0\)
\(\Leftrightarrow A=B\)
Xét \(A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
Theo câu a), ta có \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Áp dụng bất đẳng thức (1) (với \(m,n>0\)), ta được:
\(\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=n>0\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow n=p>0\)
\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow p=m>0\)
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}\)(vì \(m+n+p=2\)) (điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}\)
Vậy nếu \(x,y,z>0\) và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)thì: \(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 7 2021
\(a^2+b^2=\left(a+b-c\right)^2=a^2+\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)=b^2+\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)\\a^2=\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\dfrac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\dfrac{a-c}{b-c}\) (đpcm)
6 tháng 12 2023
a) \(B=\left(\dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{y-x}\right):\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y\ge0;x\ne y\right)\)
\(B=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^3-\left(\sqrt{y}\right)^3}{x-y}\right]:\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(B=\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right]:\dfrac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(B=\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\dfrac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right]:\dfrac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(B=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}\)
\(B=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{xy}}{x+\sqrt{xy}+y}\)
b) Xét tử:
\(\sqrt{xy}\ge0\forall x,y\) (xác định) (1)
Xét mẫu:
\(x+\sqrt{xy}+y\)
\(=\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\cdot\sqrt{x}+\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)^2+\dfrac{3}{4}y\)
\(=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)^2+\dfrac{3}{4}y\)
Mà: \(\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x,y\) (xác định), còn: \(\dfrac{3}{4}y\ge0\) vì theo đkxđ thì \(y\ge0\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B luôn không âm với mọi x,y (\(B\ge0\)) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2019
Theo tính chất của phân số, ta có:
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}< \frac{\sqrt{x}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}< \frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\); \(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}< \frac{\sqrt{z}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow VT< \frac{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\) (đpcm)
\(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10=>\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2=100\)
BDT Bunhiacopxki (đề sai phải lớn hơn bằng 20)
\(=>\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)
\(< =>5\left(x+y\right)\ge100=>x+y\ge20\)