Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\le\sqrt{4x+\dfrac{1}{2}\left(2^2+x\right)+1}=\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{21}}.\sqrt{21}.\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(21+\dfrac{9x}{2}+3\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9x}{2}+24\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9}{2}\left(x+y+z\right)+72\right)=3\sqrt{21}\)
\(A_{max}=3\sqrt{21}\) khi \(x=y=z=4\)
\(A=1\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+1.\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+1\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left[51+\dfrac{4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{2}\right]}\)
\(\le\sqrt{3.\left[51+\dfrac{x+y+z+12}{2}\right]}\)
\(=\sqrt{189}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
Điều kiện \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
Cộng các phương trình trong hệ được :
\(2\left(x+y+z\right)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)=2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Từ đó thay vào yêu cầu đề bài để tính.
\(P=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2}+\sqrt{\left(2y\right)^2+\left(\frac{1}{y}\right)^2}+\sqrt{\left(2z\right)^2+\left(\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(2x+2y+2z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(P\ge\sqrt{4\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\frac{\sqrt{145}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Ta cần chứng minh:\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\)
Mặt khác, ta có:
\(\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)\)Lại có:
\(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+1+4y+1+4z+1\right)=21.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xra :
\(\frac{4x+1}{1}=\frac{4y+1}{1}=\frac{4z+1}{1}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Làm biếng nghĩ quá. Chơi cách này cho mau vậy.
\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{3\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\frac{y}{\sqrt{3\left(1-y\right)\left(1+y\right)}}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-y}{1+y}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2\ge0\left(đung\right)\)
Đặt \(P=\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\)
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
\(\left(1.\sqrt{4x+1}+1.\sqrt{4y+1}+1.\sqrt{4z+1}\right)^2\)\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{4x+1}\right)^2+\left(\sqrt{4y+1}\right)^2+\left(\sqrt{4z+1}\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\)\(\le3\left(4x+1+4y+1+4z+1\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2\le3\left[4\left(x+y+z\right)+3\right]\)
\(\Leftrightarrow P^2\le3\left(4.3+3\right)\)(vì \(x+y+z=3\))
\(\Leftrightarrow P^2\le3\left(12+3\right)=3.15=45\)
\(\Leftrightarrow P\le\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\x+y+z=3\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy với \(x,y,z>0;x+y+z=3\)thì \(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le3\sqrt{5}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le155(4x+1)+5(4y+1)+5(4z+1)≤15
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có
\sqrt{5\left(4x+1\right)}\le\frac{5+4x+1}{2}=3+2x5(4x+1)≤25+4x+1=3+2x
Tương tự \sqrt{5\left(4y+1\right)}\le3+2y;\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le3+2z5(4y+1)≤3+2y;5(4z+1)≤3+2z
Cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được ta có
\sqrt{5\left(4x+1\right)}+\sqrt{5\left(4y+1\right)}+\sqrt{5\left(4z+1\right)}\le9+2\left(x+y+z\right)=155(4x+1)+5(4y+1)+5(4z+1)≤9+2(x+y+z)=15 (do giả thiết x,y,zx,y,z có tổng bằng 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\left\{{}\begin{matrix}4x+1=4y+1=4z+1=5\\x+y+z=3\end{matrix}\right.{4x+1=4y+1=4z+1=5x+y+z=3 \Leftrightarrow x=y=z=1⇔x=y=z=1