K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
ST
0
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Ta có \(xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y+z-3\ge0\) (do \(x+y+z+6>0\))
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\);
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
TN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta cần chứng minh \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\Leftrightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2\geq 3x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\geq 3x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\geq x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ (x^2y^2-y^2z^2)^2+(y^2z^2-x^2z^2)^2+(x^2y^2-x^2z^2)^2\right]\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
9 tháng 9 2018
a) đề bị thiếu nha
ta có : \(x^2+y^2+z^2+t^2=1\) và \(xy+yz+zt+tx=1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2yz-2zt-2tx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-t\right)^2+\left(t-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=t\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=1\Leftrightarrow4x^2=1\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=y=z=t=\pm\dfrac{1}{2}\)
b) ta có : \(x+y+z=6\) và \(x^2+y^2+z^2=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2\Leftrightarrow x=y=z=2\)
