Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) (1)
Hiển nhiên suy ra được BĐT Am-Gm
Áp dụng (1) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z};\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{z+x}\)
Cộng các vế BĐT ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\) (2)
Tương tự như vậy ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\ge2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\) (3)
Áp dụng (2) và (3) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Vậy Max A = 1
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\) (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng ta có
\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+2z+x}\ge\frac{4}{2\left(x+2y+z\right)}=\frac{2}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+2x+y}\ge\frac{2}{x+y+2z}\)
\(\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{x+2y+z}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)
Cộng các vế của các bđt trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
Theo Cauche có:
\(\left(x+x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{x^2yz}.4\sqrt[4]{\frac{1}{x^2.y.z}}=16\)
=> \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\). Tương tự có:
\(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{x+2y+z}\) và \(\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge\frac{16}{x+y+2z}\)
=> \(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4.4=16\)
Chia cả 2 vế cho 16 => ĐPCM
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1^2}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)(\(\left(a+b\right)^2\ge4a\))
Tương tự: \(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4};\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\)
\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\right)\ge4\left(\frac{x}{x^6+y^4}+\frac{y}{y^6+z^4}+\frac{z}{z^6+x^4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
với x,y,z >0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^6+y^4>=2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}< =\frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\)
\(y^6+z^4>=2\sqrt{y^6z^4}=2y^3z^2\Rightarrow\frac{2y}{y^6+z^4}< =\frac{2y}{2y^3z^2}=\frac{1}{y^2z^2}\)
\(z^6+x^4>=2\sqrt{z^6x^4}=2z^3x^2\Rightarrow\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{2z}{2z^3x^2}=\frac{1}{z^2x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\left(1\right)\)
với x,y,z>0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{y^4}}=\frac{2}{x^2y^2}\)
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{y^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{y^2z^2}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x^4}+\frac{2}{y^4}+\frac{2}{z^4}>=\frac{2}{x^2y^2}+\frac{2}{y^2z^2}+\frac{2}{x^2z^2}\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2x}{y^6+z^4}+\frac{2x}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Có : (a-b)^2>=0
<=> a^2+b^2-2ab >=0
<=>a^2+b^2 >= 2ab
<=>a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b >0 thì chia cả 2 vế cho (a+b).ab thì :
a+b/ab >= 4/a+b
<=>4/a+b <= 1/a+1/b
<=> 1/a+b <= 1/4.(1/a+1/b) ( với mọi a,b > 0 )
Áp dụng bđt trên cho x;y;z > 0 thì : x/2x+y+z = x. 1/(x+y)+(z+x) <= x/4 .( 1/x+y+1/x+z) = x/4.(x+y) + x/4.(x+z)
Tương tự : y/x+2y+z <= y/4.(y+x) + y/4.(y+z)
z/x+y+2z <= z/4.(z+x) + z/4.(z+y)
=> VT <= [ x/4.(x+y) + y/4.(y+x) ] + [ y/4.(y+z) + z/4.(z+y) ] + [ z/4.(z+x) + x/4.(x+z) ] = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z > 0
k mk nha
áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với mọi a,b >0
Thì \(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\ge\frac{4x}{2x+y+z}\)
Tương tự thì đpcm
Cách này nhanh này thành đơ
Ta có
\(1-\frac{2x}{2x+y}=1-\frac{2xy}{2xy+y^2}=\frac{y^2}{2xy+y^2}\left(1\right)\)
Ta lại có
\(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{2xy+y^2}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{2y}{x+y+z}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow1-\frac{2x}{2x+y}+\frac{2xy+y^2}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{2y}{x+y+z}\left(3\right)\)
Tương tự
\(1-\frac{2y}{2y+z}+\frac{2yz+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{2z}{\left(x+y+z\right)}\left(4\right)\)
\(1-\frac{2z}{2z+x}+\frac{2xz+x^2}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{2x}{x+y+z}\left(5\right)\)
Lấy (3) + (4) + (5) vế theo vế ta được
\(3-2M+\frac{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow3-2M+1\ge2\)
\(\Leftrightarrow M\le1\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z\)
