K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 3 2019

\(\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{xz}{y+1}\)

\(=\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\frac{yz}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}."="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

15 tháng 1 2018

Từ \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)

\(\Rightarrow\)\(x+y+z=xyz\)

Ta có : \(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Tương tự : \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\)\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)

Nên \(Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

         \(Q=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt{A.B}\le\frac{A+B}{2}\left(A,B>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi A = B :

Ta được :

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN của \(Q=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

12 tháng 4 2018

Ta có:\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(tự cm)

Áp dụng vào \(\Rightarrow P=\dfrac{xy}{z+1}+\dfrac{yz}{x+1}+\dfrac{zx}{y+1}\)

\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4z+4}+\dfrac{\left(y+z\right)^2}{4x+4}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{4y+4}\le\dfrac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{4\left(x+y+z+3\right)}=\dfrac{2^2}{4\cdot4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow MAXP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

12 tháng 4 2018

Hay

14 tháng 5 2018

Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz

Ta có : 

\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra 

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z 

Nguồn : Đinh Đức Hùng 

5 tháng 5 2019

\(xy+yz+zx=4xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)

Ta có \(M=\frac{1}{4\left(x+y\right)}+\frac{1}{4\left(y+z\right)}+\frac{1}{4\left(z+x\right)}\)

               \(=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

                                                                                     \(=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}.4=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" tại x = y = z = 3/4