K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 3 2020

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.

4 tháng 7 2015

Giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài => 1 / x + 1 / y = 1 / z (x, y, z ≠ 0) 
=> z(x + y) = xy 
Không thể có |z| > 1 vì lúc đó z có ít nhất 1 ước nguyên tố p ≥ 2 => p phải là ước của x hoặc y, vô lý vì (x, z) = (y, z) = 1. Vậy z = -1, 1 
Với z = -1 => -(x + y) = xy => (x + 1)(y + 1) = 1 => x + 1 = -1, y + 1 = -1 
=> x = y = -2 => x, y có chung ước 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Với z = 1 => x + y = xy => (x - 1)(y - 1) = 1 
=> x - 1 = 1 và y - 1 = 1 => x = y = 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Vậy không tồn tại x, y, z thỏa đk bài toán 

30 tháng 12 2018

Giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài => 1 / x + 1 / y = 1 / z (x, y, z ≠ 0) 
=> z(x + y) = xy 
Không thể có |z| > 1 vì lúc đó z có ít nhất 1 ước nguyên tố p ≥ 2 => p phải là ước của x hoặc y, vô lý vì (x, z) = (y, z) = 1. Vậy z = -1, 1 
Với z = -1 => -(x + y) = xy => (x + 1)(y + 1) = 1 => x + 1 = -1, y + 1 = -1 
=> x = y = -2 => x, y có chung ước 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Với z = 1 => x + y = xy => (x - 1)(y - 1) = 1 
=> x - 1 = 1 và y - 1 = 1 => x = y = 2, vô lý vì (x, y) = 1 
Vậy không tồn tại x, y, z thỏa đk bài toán 

18 tháng 1 2022

Xét \(x\le y\le z\) vì x,y,z nguyên dương

\(\Rightarrow xyz\ne0\)và \(x\le y\le z\Rightarrow xyz=x+y+z\le3z\)

\(\Rightarrow xy\le3\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

- Nếu \(xy=1\Rightarrow x=y=1\)ta có: \(2+z=z\)( không thỏa mãn )

- Nếu \(xy=2\Rightarrow x=1;y=2\Rightarrow z=3\)( thỏa mãn ) ( vì \(x\le y\))

- Nếu \(xy=3\Rightarrow x=1;y=3\Rightarrow z=2\)( thỏa mãn ) ( vì \(x\le y\))

Vậy......................................

18 tháng 1 2022

 \(\text{Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. }\)
\(x,y,z\)nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).