AR
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
ND
1
UI
22 tháng 8 2020
Dat \(\left(a,b,c\right)=\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\left(a,b,c>0,abc=1\right)\)
Ta co \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\frac{3}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)
BDT phu \(1+\frac{3}{ab+bc+ca}\ge\frac{6}{a+b+c}\left(2\right)\)
Do (1) nen (2) tuong duong voi
\(1+\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{6}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(1-\frac{3}{a+b+c}\right)^2\ge0\left(dung\right)\)
Suy ra (2) duoc chung minh
Do \(abc=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{xy}=\frac{xyz}{xy}=z\\bc=x\\ca=y\end{cases}}\)
nen (2) tuong duong \(1+\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{6}{xy+yz+zx}\)
=> \(\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{6}{x+y+z}-1\right)=\frac{2}{x+y+z}-\frac{1}{3}\)
Suy ra \(P\ge\frac{2}{x+y+z}-\frac{1}{3}-\frac{2}{x+y+z}=-\frac{1}{3}\)
Dau = xay ra khi x=y=z=1
27 tháng 7 2019
\(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\frac{4x^2}{y+z}\)
Do đó \(P\ge\frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{z+x}+\frac{4z^2}{x+y}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2\)(Vì x+y+z = 1)
Vậy Min P= 2. Dấu "=" có <=> x = y = z = 1/3.
HF
14 tháng 8 2020
\(P=\frac{9}{1-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{xyz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{xyz}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{18}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{36}{2\left(xy+yx+xz\right)}\ge9\left(\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2^2}{2\left(xy+yz=xz\right)}\right)\)
\(\ge\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2=81}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1/3
30 tháng 6 2020
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)ta có: \(a,b,c>0;a+b+c=1\)do đó 0<a,b,c<1
\(P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+2\left(a+b+c\right)^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\left(\frac{b^2}{a}-2b+a\right)+\left(\frac{c^2}{b}-2c+b\right)+\left(\frac{a^2}{c}-2a+c\right)-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(1-b\right)\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(1-c\right)\left(c-a\right)^2}{c}+3\ge3\)
Vậy GTNN của P=3
21 tháng 8 2020
\(P=\frac{x^4}{x^2y^2+x^2yz+z^2x^2}+\frac{y^4}{y^2z^2+xzy^2+x^2y^2}+\frac{z^4}{z^2x^2+xyz^2+y^2z^2}\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\) (1)
TA SẼ CHỨNG MINH: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1\) (2)
<=> \(x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)
<=> \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\) (*)
TA ÁP DỤNG LIÊN TỤC 2 LẦN DẠNG BĐT SAU: \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
KHI ĐÓ TA SẼ ĐƯỢC: \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
VẬY BĐT (*) LÀ LUÔN ĐÚNG.
=> TỪ (1) VÀ (2) => \(P\ge1\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
VẬY P MIN = 1 <=> x = y = z .
\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{xy+yz}=\frac{4}{y\left(x+z\right)}=\frac{4}{y\left(2-y\right)}=\frac{4}{1-\left(y-1\right)^2}\)
Do \(0< y< 2\Rightarrow0< 1-\left(y-1\right)^2\le1\Rightarrow\frac{4}{1-\left(y-1\right)^2}\ge4\)
\(\Rightarrow P_{min}=4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(x+y+z=2\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\Rightarrow4\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow1\ge\left(x+z\right)y\)
Lại có : \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{z+x}{xyz}=\frac{\left(x+z\right).1}{xyz}\ge\frac{\left(x+z\right)\left(x+z\right).y}{xyz}=\frac{\left(x+z\right)^2.y}{xyz}\ge\frac{4xzy}{xyz}=4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+z=y\\x=z;x+y+z=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow y=1;x=z=\frac{1}{2}\)
Vậy ...