Câu hỏi của gấukoala

Question

Cho x,y thỏa mãn x2+y2=1Tìm GTLN và GTNN của x6+y6Giải chi tiết nhé !!!!!!

HD Film · Accepted Answer

Đặt $x^2=a;y^2=b\left(a,b\ge0\right)$Ta có$x^6+y^6=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2$$\ge a^2-\frac{a^2+b^2}{2}+b^2=\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}$Vậy Min = 1/4 khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$Ta có+)$x^2+y^2=1\leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1$+) Đặt x+y=S, xy = P, ta được: $S^2-2P=1$+)$x^6+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)=x^4-x^2y^2+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2$$=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-3x^2y^2=\left(S^2-2P\right)^2-3P^2=S^4-4S^2P+4P^2-3P^2$$=S^4-4S^2P+P^2=\left(2P+1\right)^2-4\left(2P+1\right)P+P^2$$=4P^2+4P+1-8P^2-4P+P^2=-3P^2+1\le1$Dấu = xảy ra khi $\hept{\begin{cases}P=0\S=1\end{cases}}$, khi đó x=1, y=0 hoặc x=0, y=1Câu trả lời: Đặt $x^2=a;y^2=b\left(a,b\ge0\right)$Ta có$x^6+y^6=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2$$\ge a^2-\frac{a^2+b^2}{2}+b^2=\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}$Vậy Min = 1/4 khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$Ta có+)$x^2+y^2=1\leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1$+) Đặt x+y=S, xy = P, ta được: $S^2-2P=1$+)$x^6+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)=x^4-x^2y^2+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2$$=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-3x^2y^2=\left(S^2-2P\right)^2-3P^2=S^4-4S^2P+4P^2-3P^2$$=S^4-4S^2P+P^2=\left(2P+1\right)^2-4\left(2P+1\right)P+P^2$$=4P^2+4P+1-8P^2-4P+P^2=-3P^2+1\le1$Dấu = xảy ra khi $\hept{\begin{cases}P=0\S=1\end{cases}}$, khi đó x=1, y=0 hoặc x=0, y=1

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP