Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
\(\frac{18}{x}+\frac{2}{y}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{3^2}{x}+\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{16}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge32\)
\(\text{Dấu '' = '' xảy ra khi:}\)
\(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\\x+y=32\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\3y+y=32\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)
đk : \(ĐK:x\ne0;y\ne0\)
Chia cả 2 vế cho 2, ta được: \(\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Svac-sơ : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
\(\rightarrow VT\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)\(\leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}=\frac{16}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge32\)
Dấu ''='' xảy ra \(\leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)
Vậy : \(Min\left(...\right)=32\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)
Áp dụng Bunyakovsky, ta có :
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)
=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)
=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Mấy cái kia tương tự
Đặt \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\)
Ta có bđt sau \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\) tự chứng mình nha
Áp dụng \(a=x,b=y,c=1\)
Ta có : \(B=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\)
Ta có : \(A=\frac{1}{B}+B=\frac{1}{B}+\frac{B}{9}+\frac{8B}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=1\)
