K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

\(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)

\(\Leftrightarrow2xyz=1-x^2-y^2-z^2\)

\(\Rightarrow P=xy+yz+xz-2xyz=xy+yz+xz+x^2+y^2+z^2-1\)

          \(\Rightarrow2P=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2-2\ge1\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

4 tháng 12 2021

sai đề

NV
4 tháng 12 2021

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z 

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)

Mặt khác từ giả thiết:

\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)

\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)

Do đó:

\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

4 tháng 10 2019

đk j

4 tháng 10 2019

tổng đó = 1 nha, ghi thiếu

24 tháng 2 2020

Ta có:
P=\(\left(X^2+y^2+z^2+2xyz\right)-\left(X^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\) xz)
  = 1-\(\left(x^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\)
=> P \(\le\)1
Vậy MaxP=1 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$

$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)

$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$

$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

31 tháng 1 2023

Cho em hỏi là thầy sài bđt gì vậy ạ?

 

NV
16 tháng 2 2020

Bài này x;y;z phải dương chứ nhỉ? Có dấu "=" ở số 0 thế kia thì bối rối quá

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía so với \(\frac{1}{2}\) ; giả sử đó là x và y

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y\right)-xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x+y-2xy\le\frac{1}{2}\)

Mặt khác:

\(1=2xyz+x^2+y^2+z^2\ge2xyz+2xy+z^2=2xy\left(1+z\right)+z^2\)

\(\Rightarrow1-z^2\ge2xy\left(1+z\right)\Leftrightarrow\left(1-z\right)\left(1+z\right)\ge2xy\left(1+z\right)\)

\(\Leftrightarrow1-z\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1-z}{2}\)

\(\Rightarrow P=xy+z\left(x+y-2xy\right)\le\frac{1-z}{2}+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

30 tháng 8 2017

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}.3}{\sqrt[3]{xyz}}=9.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\right)\ge9\Leftrightarrow xy+yz+xz\ge\frac{9xyz}{x+y+z}\)

lại có \(x+y+z=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=xyz\)

=> đpcm

29 tháng 8 2017

ai làm dc đều là thánh

21 tháng 10 2017

Ta có 
do x+y+z=1 và x+y+z>=0 
=>x,y,z =<1 
Ta có xy+yz+zx -2xyz >=xyz+xyz+xyz -2xyz =xyz >=0 
dấu = xảy ra <=> 2 trong 3 số =0 
*ta có x+y+z >=3 căn bậc 3(xyz) BĐT cô-si 
=>xyz<=((x+y+z)^3)/27 
=>-2xyz>=-2/27 (1) 
Lại có xy+yz+zx <=1/3(x^2+y^2+z^2)=1/3 (2) 
Từ (1) và (2) => xy+yz+zx -2xyz <=1/3-2/27 =7/27

\(\RightarrowĐPCM\)

21 tháng 10 2017

ngược dấu