Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(x,y\in Q,x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d},a,b,c,d\in Z;b,d>0\)
a) Nếu \(x>y\), nghĩa là \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\). Ta có:
\(ad-bc>0.\) Vì \(b>0,d>0,bd>0\) nên
\(\frac{ad-bc}{b.d}>\frac{0}{b.d}=0\Rightarrow\frac{a.d}{b.d}-\frac{b.c}{b.d}>0\\ \Rightarrow\frac{a}{b}-\frac{c}{d}>0,\)
tức là \(x-y>0\)
b) Ngược lại nếu \(x-y>0\), nghĩa là
\(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}>0\Rightarrow\frac{a.d}{b.d}-\frac{b.c}{b.d}>0\\ \Rightarrow\frac{a.d-b.c}{b.d}>\frac{0}{b.d}\\ \Rightarrow a.d-b.c>0\Rightarrow a.d>b.c\\ \Rightarrow\frac{a.d}{b.d}>\frac{b.c}{b,d}\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)
Tức là \(x>y\)
Giả sử \(x,y,z\in Q,x=\frac{a}{b},b>0,y=\frac{c}{d},d>0,z=\frac{h}{g},g>0.\)
a) Nếu \(x=y\), tức là \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), thì ta suy ra \(\frac{a.d.g}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}\left(1\right)\)
Xét \(x+z=\frac{a}{b}+\frac{h}{g}=\frac{a.d.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}\left(2\right)\)
Thay kết quả \(\left(1\right)\) vào vế phải của \(\left(2\right)\) ta được:
\(x+z=\frac{b.c.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}=\frac{c}{d}+\frac{h}{g}\Rightarrow x+z=y+z\)
b) Ngược lại, nếu \(x+z=y+z,\) tức là \(\frac{a}{b}+\frac{h}{g}=\frac{c}{d}+\frac{h}{g},\) thì ta suy ra
\(\frac{a.d.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}\)
\(\Rightarrow\frac{a.d.g+b.d.h}{b.d.g}=\frac{b.c.g+b.d.h}{b.d.g}\)
\(\Rightarrow a.d.g+b.d.h=b.c.g+b.d.h\left(3\right)\)
Theo luật đơn giản ước của phép cộng các số nguyên, từ đẳng thức \(\left(3\right)\) ta có: \(a.d.g=b.c.g\). Do đó:
\(\frac{a.d.g}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}\)
Suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Ta có :
(+) \(x=y\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x+z=x+z\\y+z=x+z\end{cases}\)
=> x+z=y+z
(+) x+z=y+z
\(\Rightarrow x+z-z=y+z-z\)
=> x = y
vì x,y là các số dương =>x,y>0
ta có x>y(gt)=>x^2>xy
mà xy >y^2 ( vì x>y) =>x^2>y^2
vì x,y >0 và x^2>y^2 =>căn x^2 > căn y^2 => x>y (đpcm)
Thanks nhé!!