Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Đk: \(x\ge0\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}+4}\)
\(\Leftrightarrow x.P+\sqrt{x}\left(3P-1\right)+4P=0\) (1)
Xét P=0 <=> x=0(tm)
Xét \(P\ne0\) .Coi pt (1) là phương trình ẩn \(\sqrt{x}\)
Phương trình (1) có nghiệm không âm khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7P^2-6P+1\ge0\\\dfrac{1-3P}{P}\ge0\\4\ge0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le P\le\dfrac{1}{7}\\0< P\le\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< P\le\dfrac{1}{7}\)
Kết hợp với P=0 \(\Rightarrow0\le P\le\dfrac{1}{7}\)
Có \(\dfrac{1}{7}>0\) => maxP=\(\dfrac{1}{7}\). Thay \(P=\dfrac{1}{7}\) vào (1) tìm được x=4 (tm)
minP=0 <=> x=0
Ta có: Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x+y\ge0\\x,y\ge-6\end{cases}}\)
\(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+y+12\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le2\left(P+12\right)\)
\(\Rightarrow P^2-2P-24\le0\)
\(\Rightarrow-4\le P\le6\)so sánh với điều kiện thì ta có
\(\Rightarrow0\le P\le6\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow P^2=P+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P\le-3\left(l\right)\\P\ge4\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\le P\le6\)
Vậy GTNN là \(P=4\) khi \(\hept{\begin{cases}x=10\\y=-6\end{cases}or\hept{\begin{cases}x=-6\\y=10\end{cases}}}\)
GTLN là \(P=6\) khi \(x=y=3\)
$B = \sqrt{x-4} + \sqrt{12 -x}$
+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} \geqslant 8 + 2 \cdot 0 = 8 \implies B \geqslant \sqrt{8}$
Vậy $B_\text{min} = \sqrt{8} \iff (x-4)(12-x) = 0 \iff x =4$ hoặc $x =12 \implies (x;y) =\{ (4;11);(12;3)\}$
+) $B^2 = 8 + 2\sqrt{(x-4)(12-x)} = 8 + 2\sqrt{-x^2 + 16x - 48} = 8 + 2\sqrt{-(x-8)^2 + 16} \leqslant 8 + 2\sqrt{16} = 16 \implies B \geqslant 4$
Vậy $B_\text{max} =4 \iff x = 8 \iff (x;y) = (8;7)$