Question

[Pham Trong Bach]

Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA= SB= 3 cm, BC =5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6 c m 2 . Một mặt phẳng  α  thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất  T m  của biểu thức  T = 1 A M 2 + 1 A N 2 + 1 A P 2

A.  T m = 8 17

B.  T m = 41 144

C.  T m = 1 10

D.  T m = 1 34

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn A

Vì tam giác SAC vuông tại A

nên tam giác ABC vuông tại A. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ

Ta có 

A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0), S(0;0;3)

Vì G là trọng tâm của tứ diện SABC nên ta có

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng  α . Theo tính chất của tam diện vuông ta có

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ G tức mặt phẳng  α đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T  bằng  8 17