Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0\) nên \(AB\perp AC\). (1)
\(AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\).
\(AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy AB = AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a^3\left(b+c\right)}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{b\left(c+a\right)}{4b^3\left(c+a\right)}}=\frac{1}{b}\)
\(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a+b\right)}{4c^3\left(a+b\right)}}=\frac{1}{c}\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{ab+bc+ac}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{2}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{2}{c^3\left(a+b\right)}\ge ab+bc+ac\) (đpcm)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(a^2=b^2+c^2-bc\Rightarrow bc=b^2+c^2-a^2\)
\(\Rightarrow cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{bc}{2bc}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)
Tương tự: \(ac=a^2+c^2-b^2\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow B=60^0\)
\(\Rightarrow C=180^0-\left(A+B\right)=60^0\)
\(\Rightarrow A=B=C=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều
Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}\)
Mặt khác :
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)
Theo giả thiết ta có :
\(\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) hay \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A
Ta đổi chiều bất đẳng thức, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(18\left(\frac{a^3}{1+a^3}+\frac{b^3}{1+b^3}+\frac{c^3}{1+c^3}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54\)
Để ý abc=1 thì \(\frac{a^3}{1+a^3}=\frac{a^3}{abc+a^3}=\frac{a^2}{bc+a^2}\)nên bất đẳng thức trên thành:
\(18\left(\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54\)
Lại cũng từ \(abc=1\) ta có \(\left(a+b+c\right)^3\ge27abc=27\), do đó ta sẽ chứng minh được khi ta chỉ ra được:
\(\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
Vế trái của đánh giá trên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lúc này ta được:
\(\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)
Tuy nhiên để đến khi \(a=b=c=1\) thì:
\(\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\left(a+b+c\right)^3=27\)
Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(x+y\ge2\sqrt{xy}\), khi đó ta được:
\(\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}+\left(a+b+c\right)^3\ge\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}\)
Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ được:
\(\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}\ge54\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^5\ge\frac{81}{2}\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\)
Vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
\(\left(a+b+c\right)^6=\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]^3\)
\(\ge27\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)^2\ge81abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=81\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
Khi đó ta được:
\(\left(a+b+c\right)^5\ge81\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy ta cần chỉ ra rằng:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
Vậy bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\), là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Dựng hình hình hành CADB.
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}\).
Vì vậy \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|=CD\);
Mặt khác \(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\).
Suy ra: \(CD=AB\).
Hình bình hành CADB có hai đường chéo bằng nhau (\(CD=AB\) )nên hình bình hành CADB là hình chữ nhật.
Ta có:
\(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\);
\(\frac{1}{\left(c+b+\sqrt{\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Do đó:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, bất đẳng thức xày ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
ta có \(S=\frac{a^2-\left(b-c^2\right)}{4}=\frac{a^2-b^2-c^2+2bc}{4}\)
mà theo định lý cosin ta có \(a^2-b^2-c^2=-2bc.cos\left(A\right)\Rightarrow S=\frac{bc\left(1-cos\left(A\right)\right)}{2}\)
mà ta có công thức \(S=\frac{b.c.sin\left(A\right)}{2}\Rightarrow1-cos\left(A\right)=sin\left(A\right)\Rightarrow cos\left(A\right)+sin\left(A\right)=1\)
mà \(cos^2\left(A\right)+sin^2\left(A\right)=1\Rightarrow2sin\left(A\right).cos\left(A\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0^0\\A=90^0\end{cases}}\)
Do A>0 nên \(A=90^0\)Vậy ABC vuoogn tại A