Câu hỏi của Miyamoto Hanako

Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

a)C/m AH=BC:2

b)C/m MB^2 + MC^2 = 2MA^2

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a) Ta có: AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(gt)

nên AH cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(cmt)

nên $AH=\frac{BC}{2}$(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(đpcm)

b)Từ M kẻ ME vuông góc với AB(E∈AB) và MF vuông góc với AC(F∈AC)

Ta có: ΔABC vuông cân tại A(gt)

⇒$\widehat{B}=\widehat{C}=45độ$

Xét ΔBEM vuông tại E có

$\widehat{B}+\widehat{BME}=90độ$(hai góc phụ nhau)

hay $45độ+\widehat{BME}=90độ$

⇒$\widehat{BME}=45độ$

Xét ΔBEM có $\widehat{B}=\widehat{BME}$(=45 độ)

nên ΔBEM cân tại E

mà ΔBEM vuông tại E(do BE⊥EM)

nên ΔBEM vuông cân tại E

Xét ΔMFC vuông tại F có

$\widehat{C}+\widehat{FMC}=90độ$(hai góc phụ nhau)

hay $45độ+\widehat{FMC}=90độ$

⇒$\widehat{FMC}=45độ$

Xét ΔMFC có $\widehat{C}=\widehat{FMC}$(=45 độ)

nên ΔMFC cân tại F

mà ΔMFC vuông tại F(do MF⊥FC)

nên ΔMFC vuông cân tại F

Ta có: ΔBEM cân tại E(cmt)

nên BE=EM

Ta có: ΔMFC cân tại F(cmt)

nên MF=FC

Áp dụng định lí pytago vào ΔEBM vuông tại E , ta được

$BM^2=BE^2+EM^2$

mà $BE^2=EM^2$(do BE=EM)

nên $BM^2=2ME^2$

Áp dụng định lí pytago vào ΔMFC vuông tại F, ta được

$MC^2=MF^2+FC^2$

mà $MF^2=FC^2$(do MF=FC)

nên $MC^2=2FM^2$

Ta có: $BM^2=2ME^2$(cmt)

$MC^2=2FM^2$(cmt)

Do đó: $BM^2+CM^2=2\left(ME^2+MF^2\right)$(*)

Xét tứ giác AEMF có

$\widehat{EAF}=90độ$(do ΔABC vuông tại A, E∈AB,F∈AC)

$\widehat{MFA}=90độ$(do MF⊥AC)

$\widehat{AEM}=90độ$(do EM⊥AB)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒AM=EF(do AM và EF là hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF)

⇒$AM^2=EF^2$(1)

Áp dụng định lí pytago vào ΔEMF vuông tại M, ta được

$EF^2=EM^2+MF^2$(2)

Từ (1) và (2) suy ra

$AM^2=EM^2+MF^2$(**)

Từ (*) và (**) suy ra

$MB^2+MC^2=2\cdot AM^2$(đpcm)Câu trả lời: a) Ta có: AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(gt)