K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2019

Lời giải:

\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}\)

\(=\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BA}\)

\(=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BA}\)

\(=\overrightarrow{BA}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{BA}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{0}=0\)

Ta có đpcm.

4 tháng 9 2019

chèn điểm vào mà làm

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

a) Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)

 

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM} \)

Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)

Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM} \).

24 tháng 9 2023

Tham khảo cách 2 câu a: 

 

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \end{array}\)

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.

Khi đó: \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CD} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \)

 

Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.

 

Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

12 tháng 5 2017

Do là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành nên:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}\) (ĐPCM).

NV
13 tháng 1 2021

Chắc chắn là đề bài sai rồi

Vế trái là 1 đại lượng vô hướng

Vế phải là 1 đại lượng có hướng (vecto)

Hai vế không thể bằng nhau được

14 tháng 1 2021

Em viết nhầm ạ, vế phải đó là 

\(\overrightarrow{IJ}^2\)

a: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DI}=-\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}\right)=-2\overrightarrow{IM}=2\overrightarrow{MI}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}\)(luôn đúng)

=>ĐPCM

b: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{GM}+2\cdot\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}\)

NV
26 tháng 11 2021

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Do I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\)

\(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=3.\left|2\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow2.\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow6\left|\overrightarrow{MG}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=MI\)

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng IG