Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đọc đề hiểu chết liền :< dựng đường cao DE,FK,MN tương ứng // AB,AC,BC???
vẽ cái hình xem sao bạn
:vvvvvv sai đề, làm mãi ko ra, \(S_{BMP}=S_2\) mới đúng nha, thiếu đỉnh B
a) Kẻ các đường cao NN1, CC1 tương ứng với AB (N1, C1 thuộc AB)
\(\Delta ACC_1\) có \(NN_1//CC_1\) ( do cùng vuông góc với AB ) \(\Rightarrow\)\(\frac{NN_1}{CC_1}=\frac{AN}{AC}\) ( hệ quả định lí Ta-let )
Có: \(\frac{S_1}{S}=\frac{\frac{1}{2}NN_1.AP}{\frac{1}{2}CC_1.AB}=\frac{NN_1}{CC_1}.\frac{AP}{AB}=\frac{AN.AP}{AC.AB}\) ( đpcm )
b) Tương tự câu a, kẻ các đường cao MM2, MM3 tương ứng với AB và AC (M2 thuộc AB, M3 thuộc AC)
\(\Delta BCC_1\) có \(MM_2//CC_1\) ( cùng vuông góc với AB ) \(\Rightarrow\)\(\frac{MM_2}{CC_1}=\frac{BM}{BC}\) ( hệ quả Ta-let )
\(\frac{S_2}{S}=\frac{\frac{1}{2}MM_2.BP}{\frac{1}{2}CC_1.AB}=\frac{MM_2}{CC_1}.\frac{BP}{AB}=\frac{BM.BP}{BC.AB}\) (1)
Tiếp tục kẻ các đường cao MM3, BB1 tương ứng với AC ( M3, B1 thuộc AC )
\(\Delta BB_1C\) có \(MM_3//BB_1\) ( cùng vuông góc với AC ) \(\Rightarrow\)\(\frac{MM_3}{BB_1}=\frac{CM}{BC}\)
\(\frac{S_3}{S}=\frac{\frac{1}{2}MM_3.CN}{\frac{1}{2}BB_1.AC}=\frac{MM_3}{BB_1}.\frac{CN}{AC}=\frac{CM.CN}{BC.AC}\) (2)
Từ (1), (2) và kết luận câu a) ta suy ra \(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{AN.AP}{AC.AB}S\\S_2=\frac{BM.BP}{BC.AB}S\\S_3=\frac{CM.CN}{BC.AC}S\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(S_1.S_2.S_3=\frac{AN.AP}{AC.AB}.\frac{BM.BP}{BC.AB}.\frac{CM.CN}{BC.AC}S^3\) ( nhân 3 vế ba đẳng thức trên )
\(\Leftrightarrow\)\(S_1.S_2.S_3=\frac{AP.BP}{AB^2}.\frac{AN.CN}{AC^2}.\frac{BM.CM}{BC^2}S^3\)
Mà \(\hept{\begin{cases}AP.BP=\left(\sqrt{AP.BP}\right)^2\le\left(\frac{AP+BP}{2}\right)^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}\\AN.CN=\left(\sqrt{AN.CN}\right)^2\le\left(\frac{AN+CN}{2}\right)^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{AC^2}{4}\\BM.CM=\left(\sqrt{BM.CM}\right)^2\le\left(\frac{BM+CM}{2}\right)^2=\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{BC^2}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(S_1.S_2.S_3\le\frac{\frac{AB^2}{4}}{AB^2}.\frac{\frac{AC^2}{4}}{AC^2}.\frac{\frac{BC^2}{4}}{BC^2}S^3=\frac{1}{64}S^3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}AP=BP\\AN=CN\\BM=CM\end{cases}}\) hay M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MGJ}=\widehat{B}\left(\text{đồng vị}\right)\\\widehat{MJG}=\widehat{C}\left(\text{đồng vị}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MGJ\sim\Delta ABC\) theo tỉ số \(k_1=\dfrac{GJ}{BC}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}.k_1^2=S_{MGJ}\Rightarrow k_1=\sqrt{\dfrac{S_{MGJ}}{S_{ABC}}}=\dfrac{GJ}{BC}\) (1)
Tương tự: \(\dfrac{DM}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}\), mà BDMG là hbh (2 cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow DM=BG\Rightarrow\dfrac{BG}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}\) (2)
Tương tự: \(\dfrac{CJ}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{FME}}{S_{ABC}}}\) (3)
Cộng vế (1);(2);(3) \(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{S_{MGJ}}{S_{ABC}}}+\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}+\sqrt{\dfrac{S_{FME}}{S_{ABC}}}=\dfrac{BG+GJ+JC}{BC}=1\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\left(\sqrt{S_{MGJ}}+\sqrt{S_{IDM}}+\sqrt{S_{FME}}\right)^2\le3\left(S_{MGJ}+S_{IDM}+S_{FME}\right)\)
Mà \(S_{MGJ}+S_{IDM}+S_{FME}=S_{ABC}-\left(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}\le3\left[S_{ABC}-\left(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\right)\right]\)
\(\Rightarrow S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)
