Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trong tam giác AMN, ta có:
MN = AN.sin(∠MAN) (định lí sin)
Vì MN là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC, nên AN = AD.cos(∠BAC) và AM = AD.cos(∠CAB). Thay vào công thức trên, ta có:
MN = AD.cos(∠CAB).sin(∠BAC)
Do đó, để chứng minh MN = AD.sin(BAC), ta cần chứng minh rằng:
cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC)
Áp dụng định lí sin, ta có:
cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC).cos(∠CAB)
Vì cos(∠CAB) = cos(90° - ∠BAC) = sin(∠BAC), nên:
sin(∠BAC).cos(∠CAB) = sin(∠BAC).sin(∠BAC) = sin^2(∠BAC)
Vậy, MN = AD.sin(BAC).
Như vậy, đã chứng minh hai điều kiện trên.
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
Vẽ đường kính AD
^ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là góc vuông => AC⊥CD
Mà BH⊥AC (gt) nên CD // BH (1)
Tương tự, ta có: BD // CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành
∆OBC cân tại O (do có hai cạnh OB và OC là bán kính của đường tròn tâm O) có OI là đường cao nên cũng là trung tuyến => I là trung điểm của BC do đó I cũng là trung điểm của HD
Có O là trung điểm của AD (gt), I là trung điểm của HD (cmt) nên OI là đường trung bình của ∆AHD => AH = 2OI (đpcm)
a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD đồng dạng với ΔACE
=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)
=>\(AB\cdot AE=AD\cdot AC\)(3)
b: Sửa đề: Gọi P là trung điểm của MN.Chứng minh AP vuông góc MN
Xét ΔAMC vuông tại M có MD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(1\right)\)
Xét ΔANB vuông tại N có NE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AN^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra AM=AN
ΔAMN cân tại A
mà AP là đường trung tuyến
nên AP\(\perp\)MN
