Question

[syl tráo nọy lguơì]

CHo tam giác ABC , điểm P bất kì nằm trong tam giác . Kẻ PA' , PB' , PC' vuông góc BC , CA , AB 

Xác định vị trí điểm P sao cho BC/PA' + CA/PB' + AB/PC' min

Answer 1

[Incursion_03]

Có : \(\frac{BC}{PA'}+\frac{CA}{PB'}+\frac{AB}{PC'}=\frac{BC^2}{PA'.BC}+\frac{CA^2}{PB'.CA}+\frac{AB^2}{PC'.AB}\)

                                                 \(=\frac{BC^2}{2S_{BPC}}+\frac{CA^2}{2S_{CPA}}+\frac{AB^2}{2S_{ABP}}\)

Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)được

\(\frac{BC}{PA'}+\frac{CA}{PB'}+\frac{AB}{PC'}\ge\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{2S_{ABC}}=\frac{P_{ABC}^2}{2S_{ABC}}=const\:\)

Dấu "=" khi 3 cái phân số chứa mẫu là S kia bằng nhau <=> PA' = PB' = PC'

                                                                                         <=> P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC