Question

[Thơ Trần]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và 3 đường cao AD,BE,CF cùng đi qua điểm H. Gọi (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF 

1, CM đường tròn (S) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH

2, Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn (S) với các đoạn BH, CH. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (S) cắt đường thẳng MN tại T. CM đường thẳng HT song song với EF

Answer 1

[An Thy]

1) Gọi G là trung điểm AH

Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow CDHE,AFDC\) nội tiếp

Vì \(\Delta AFH\) vuông tại F có G là trung điểm AH \(\Rightarrow GA=GH=GF\)

Tương tự \(\Rightarrow GE=GA=GH\Rightarrow GE=GF=GA=GH\)

\(\Rightarrow G\) là tâm (AEHF)

Ta có: \(\angle FEH=\angle FAH=\angle FCD=\angle HED\)

\(\Rightarrow\angle FED=2\angle FEH=2\angle FAH=\angle FGD\Rightarrow FGED\) nội tiếp

\(\Rightarrow\left(S\right)\) đi qua trung điểm AH

2) EFMN nội tiếp \(\Rightarrow\angle FNM=\angle FEM=\angle FCB\) (BCEF nội tiếp)

\(\Rightarrow MN\parallel BC\) mà \(BC\bot AD\Rightarrow MN\bot AD\)

MDEG nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDG=\angle MEG=\angle HEG=\angle GHE=\angle MHD\)

\(\Rightarrow\Delta MHD\) cân tại M có \(MN\bot HD\Rightarrow MN\) là trung trực HD

mà \(T\in MN\Rightarrow\angle MHT=\angle MDT=\angle MED=\angle FEM\)

\(\Rightarrow HT\parallel EF\)