K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)

Thật vậy:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)

Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)

mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)

Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có

 ∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

28 tháng 2 2020

Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm

1 tháng 2 2017

a on à :D 

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=2b+2c-a\\y=2c+2a-b\\z=2a+2b-c\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(x,y,z>0\)

Khi đó :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)

Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z : 

\(\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)

Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))

Áp dụng , ta được :

\(\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{12}{9}-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{9}\ge1\)(đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

NV
29 tháng 2 2020

Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra

a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/ Áp dụng câu a:

\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

12 tháng 3 2018

Đặt \(A=\left(\frac{a}{a^2b^2+a^2+1}\right)^2+\left(\frac{b}{b^2c^2+b^2+1}\right)^2+\left(\frac{c}{c^2a^2+c^2+1}\right)^2\)

Cần cm : \(B=\frac{1}{a^2b^2+a^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{a^2c^2+c^2+1}=1\)

\(B=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+a^2+a^2b^2c^2}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{a^2b^2c^2}{a^2c^2+a^2b^2c^3+a^2b^2c^2}\) (Do \(abc=1\))

\(=\frac{b^2c^2}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{b^2}{b^2c^2+b^2+1}=\frac{b^2c^2+b^2+1}{b^2c^2+b^2+1}=1\)(đúng)

Ta có : \(A=\frac{\frac{1}{\left(a^2b^2+a^2+1\right)^2}}{a^2}+\frac{\frac{1}{\left(b^2c^2+b^2+1\right)^2}}{b^2}+\frac{\frac{1}{\left(c^2a^2+c^2+1\right)^2}}{c^2}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2b^2+a^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{a^2c^2+c^2+1}\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{B^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

12 tháng 3 2018

phân thức thức thứ 3 dòng thứ 3 ở mẫu là \(a^2c^2+a^2b^2c^4+a^2b^2c^2\)chứ bạn nhỉ????