Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
2.
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
b) A=m3+3m2-m-3
=(m-1)(m2+m+1) +m(m-1) +2(m-1)(m+1)
=(m-1)(m2+m+1+m+2m+2)
=(m-1)(m2+4m+4-1)
=(m-1)[ (m+2)2-1 ]
=(m-1)(m+1)(m+3)
với m là số nguyên lẻ
=> m-1 là số chẵn(nếu gọi m là 2k-1 thì 2k-1-1=2k-2=2(k-1)(chẵn)
m+1 là số chẵn (tương tự 2k11+1=2k(chẵn)
m+3 là số chẵn (tương tự 2k-1+3=2k++2=2(k+2)(chẵn)
ta có:gọi m là 2k-1 thay vào A ta có:(với k là số nguyên bất kì)
A=(2k-2)2k(2k+2)
=(4k2-4)2k
=8k(k-1)(k+1)
k-1 ;'k và k+1 là 3 số nguyên liên tiếp
=> (k-1)k(k+1) sẽ chia hết cho 6 vì trong 3 số liên tiếp luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 3
=> tích (k-1)k(k+1) luôn chia hết cho 6
=> A=8.(k-1)(k(k+1) luôn chia hết cho (8.6)=48
=> (m3+3m3-m-3) chia hết cho 48(đfcm)
Do \(n\in N^{\text{*}}\) \(\left(o\right)\) nên ta dễ dàng suy ra \(2+2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)
Do đó, \(2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\) dẫn đến \(\sqrt{28n^2+1}\in Q\)
Lại có: \(28n^2+1\) luôn là một số nguyên dương (do \(\left(o\right)\)) nên \(\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)
hay nói cách khác, ta đặt \(\sqrt{28n^2+1}=m\) (với \(m\in Z^+\) )
\(\Rightarrow\) \(28n^2+1=m^2\) \(\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) \(m^2-1=28n^2\) chia hết cho \(4\)
Suy ra \(m^2\text{ ≡ }1\) \(\left(\text{mod 4}\right)\)
Hay \(m\) phải là một số lẻ có dạng \(m=2k+1\) \(\left(k\in Z^+\right)\)
Từ \(\left(\alpha\right)\) suy ra \(28n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\)
nên \(7n^2=k\left(k+1\right)\)
Theo đó, ta có: \(\orbr{\begin{cases}k\\k+1\end{cases}\text{chia hết cho 7}}\)
Xét hai trường hợp sau:
\(\text{Trường hợp 1}:\)\(k=7q\) \(\left(q\in Z^+\right)\)
Suy ra \(7n^2=7q\left(7q+1\right)\)
\(\Rightarrow\) \(n^2=q\left(7q+1\right)\) \(\left(\beta\right)\)
Mặt khác, vì \(\left(q,7q+1\right)=1\) nên từ \(\left(\beta\right)\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q=a^2\\7q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow}\) \(7a^2+1=b^2\) \(\left(\gamma\right)\)
Tóm tại tất cả điều trên, ta có:
\(A=2+2\sqrt{28n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.7q=4+28q\)
Khi đó, \(A=4+28a^2=4\left(7a^2+1\right)=4b^2\) (do \(\left(\gamma\right)\) )
Vậy, \(A\) là số chính phương với tất cả các điều kiện nêu trên
\(\text{Trường hợp 2:}\)\(k+1=7q\)
Tương tự
