Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Ta có: \(m^2+\left(m-1\right)^2=2m^2-2m+1=\frac{1}{2}\left(2m-1\right)^2+\frac{1}{2}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Với mọi m pt đã cho là pt đường tròn
2.
\(R=\sqrt{\frac{1}{2}\left(2m-1\right)^2+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow R\ge\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(R_{min}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)
3.
Đường tròn tâm \(I\left(x_I;y_I\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=m\\y_I=m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_I-y_I=1\Leftrightarrow x_I-y_I-1=0\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp tâm I là đường thẳng có pt \(x-y-1=0\)
4.
Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà đường tròn đi qua
\(\Rightarrow x^2+y^2-2mx-2my+2y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2y-2m\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2y=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2y=0\\y=-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(-x\right)^2-2x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=0\\x=1\Rightarrow y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định có tọa độ \(\left(0;0\right);\left(1;-1\right)\)
5.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2mx-2\left(m-1\right)y=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2mx-2\left(m-1\right)y=0\\y=1-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(1-x\right)^2-2mx-2\left(m-1\right)\left(1-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x+1-2mx-\left(2m-2\right)\left(1-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x-2m+3=0\)
\(\Delta'=4-2\left(-2m+3\right)=4m-2=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)
Đáp án A.
Đường tròn (C) có tâm I(a;b).
Theo quan hệ vuông góc đường kính và dây cung: Nếu đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB thì ∆ ⊥ I M tại M.
Do đó, đường thẳng ∆: đi qua M x 0 ; y 0 và nhận M I → = a - x 0 ; b - y 0 làm VTPT.
Phương trình ∆: a - x 0 x - x 0 + b - y 0 y - y 0 = 0
Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=3\)
a. \(\overrightarrow{IM}=\left(0;2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{0^2+2^2}=2< R\Rightarrow\) M nằm trong đường tròn
b. \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2-\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=2\sqrt{2}< 3\Rightarrow d\) cắt đường tròn tại 2 điểm
c. Khoảng cách giữa 2 điểm trên đường tròn là lớn nhất khi chúng nằm ở 2 mút đường kính
\(\Rightarrow\) d' đi qua tâm I
Do d' vuông góc d nên nhận (1;1) là 1 vtpt
Phương trình: \(1\left(x-2\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y-1=0\)
Gọi \(M\left(2;y_M\right)\) là tiếp điểm của (C):
\(\Leftrightarrow2^2+y_M^2-12+2y_M=0\)
\(\Leftrightarrow y_M^2+2y_M-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y_M=2\\y_M=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;2\right)\\M\left(2;-4\right)\end{matrix}\right.\)
* Với M(2;2)
Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\left(D\right):3x+y-8=0\)
* Với M(2; -4)
Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(-3;1\right)\)
\(\Rightarrow\left(D\right):-3x+y+4=0\)
Đường tròn (C) tâm \(I\left(0;0\right)\) bán kính R=1
Đường tròn \(\left(C_m\right)\) tâm \(I'\left(m+1;-2m\right)\) bán kính \(R'=\sqrt{5m^2+2m+6}\)
Ta có: \(II'=\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(2m\right)^2}=\sqrt{5m^2+2m+1}\)
Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi:
\(\left[{}\begin{matrix}II'=R+R'\\II'=\left|R-R'\right|\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}+1\left(vn\right)\\\sqrt{5m^2+2m+1}=\sqrt{5m^2+2m+6}-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}+1=\sqrt{5m^2+2m+6}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2+2m+1}=2\)
\(\Leftrightarrow5m^2+2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)
Giả sử đường tròn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Rightarrow\) Với mọi m ta luôn có:
\(x_0^2+y_0^2+\left(m+2\right)x_0-\left(m+4\right)y_0+m+1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x_0-y_0+1\right)+\left(x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-y_0+1=0\\x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_0^2+\left(x_0+1\right)^2+2x_0-4\left(x_0+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow2x_0^2-2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\Rightarrow y_0=2\\x_0=-1\Rightarrow y_0=0\end{matrix}\right.\)
Vậy đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định có tọa độ \(\left(1;2\right);\left(-1;0\right)\) với mọi m