Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: Sửa \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\ge\left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(3+2+2\right)^3=343\)
Khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1: Một cách thuần túy Am-Gm
Biến đổi:
\(P=\frac{(3ab+a+b)(3bc+b+c)(3ac+a+c)}{(abc)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3ab+a+b=ab+ab+ab+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}\geq 7\sqrt[7]{\frac{(ab)^3(a+b)^4}{4^4}}\)
Tương tự với các biểu thức còn lại và nhân theo vế:
\(P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^6(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4}{4^{12}}}}{(abc)^2}\)
Mặt khác: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\) (AM-GM)
\(\Rightarrow P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^{10}}{4096}}}{(abc)^2}=343\sqrt[7]{\frac{1}{4096(abc)^4}}\)
AM-GM: \(\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\)
Do đó mà \(P\geq 343\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(P\left(1\right)=a+b+c+d+1\)
\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d+16\)
\(P\left(3\right)=27a+9b+3c+d+81\)
\(\Rightarrow100P\left(1\right)-198P\left(2\right)+100P\left(3\right)\)
\(=100\left(a+b+c+d+1\right)-198\left(8a+4b+2c+d+16\right)+100\left(27a+9b+3c+d+81\right)\)
\(=1216a+208b+4c+2d+5032=100.10-198.20+100.30=40\)
Ta lại có:
\(f\left(12\right)+f\left(-8\right)=12^4+12^3a+12^2b+12c+d+8^4-8^3a+8^2b-8c+d\)
\(=\left(1216a+208b+4c+2d+5032\right)+19800\)
\(=40+19800=19840\)
\(\Rightarrow P=\frac{19840}{10}+25=2009\)
Đặt \(G\left(x\right)=f\left(x\right)-10x\)\(\Leftrightarrow\hept{f\left(x\right)=G\left(x\right)+10x}\)và \(G\left(x\right)\)có bậc 4 có hệ số cao nhất là 1
Từ đề bài ta có: \(\hept{\begin{cases}G\left(1\right)=f\left(1\right)-10=0\\G\left(2\right)=f\left(2\right)-20=0\\G\left(3\right)=f\left(3\right)-30=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x=1;2;3\)là 3 nghiệm của\(G\left(x\right)\)
\(\Rightarrow G\left(x\right)\)có dạng \(G\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-k\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}G\left(12\right)=\left(12-1\right)\left(12-2\right)\left(12-3\right)\left(12-k\right)=11880-990k\\G\left(-8\right)=\left(-8-1\right)\left(-8-2\right)\left(-8-3\right)\left(-8-k\right)=7920+990k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(12\right)=G\left(12\right)+12\times10=12000-990k\\f\left(-8\right)=G\left(-8\right)+10\times\left(-8\right)=7840+990k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow f\left(12\right)+f\left(-8\right)=12000-990k+7840+990k=19840\)
\(\Rightarrow P=\frac{19840}{10}+25=2009\)