Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình d: \(y=kx+b\)
Do d qua I nên: \(0.k+b=-2\Rightarrow b=-2\Rightarrow y=kx-2\)
Phương trình hoành độ giao điểm d và (P):
\(-\frac{x^2}{2}=kx-2\Leftrightarrow x^2+2kx-4=0\)
\(ac=-4< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu hay d luôn cắt (P) tại 2 điểm A;B phân biệt (và có hoành độ trái dấu)
b/ Giả sử A là điểm có hoành độ âm
Gọi \(A\left(a;-\frac{a^2}{2}\right)\Rightarrow H\left(a;0\right)\)
\(B\left(b;-\frac{b^2}{2}\right)\Rightarrow K\left(b;0\right)\)
\(\Rightarrow HK^2=\left(b-a\right)^2\) ; \(IH^2=a^2+2^2\); \(IK^2=b^2+2^2\)
\(\Rightarrow IH^2+IK^2=a^2+b^2+8\)
\(HK^2=a^2+b^2-2ab=a^2+b^2-2.\left(-4\right)=a^2+b^2+8\)
\(\Rightarrow HK^2=IH^2+IK^2\Rightarrow\Delta IHK\) vuông tại I
Đường thẳng có dạng: \(y=kx-1\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2+kx-1=0\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-k\\x_Ax_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_A^2+x_B^2=k^2+2\)
\(A\left(x_A;kx_A-1\right);B\left(y_B;kx_B-1\right)\)
Ta có: \(OA^2+OB^2=x_A^2+\left(kx_A-1\right)^2+x_B^2+\left(kx_B-1\right)^2\)
\(=\left(x_A^2+x_B^2\right)\left(k^2+1\right)-2k\left(x_A+x_B\right)+2\)
\(=\left(k^2+2\right)\left(k^2+1\right)-2k.\left(-k\right)+2\)
\(=k^4+5k^2+4\) (1)
\(AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(kx_A-kx_B\right)^2\)
\(=\left(k^2+1\right)\left[\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B\right]\)
\(=\left(k^2+1\right)\left(k^2+4\right)=k^4+5k^2+4\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow OA^2+OB^2=AB^2\) hay tam giác OAB luôn vuông tại O
Bài này sử dựng định lý viet để chứng minh:
- Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc a có dạng : \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\); \(M\left(1,2\right)\)thuộc (d) nên : \(2=a+b\Rightarrow b=2-a\left(1\right)\). Xét phương trình hoành độ giao điểm có : \(x^2=ax+b\left(2\right)\)thế 1 vào 2 có \(x^2=ax+2-a\Leftrightarrow x^2-ax-\left(2-a\right)=0\)phương trình có : \(\Delta=a^2+4\left(2-a\right)=a^2-4a+8\)\(\Rightarrow\Delta=\left(a^2-4a+4\right)+4=\left(a-2\right)^2+4\ge4\forall a\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá tri của \(a\ne0\)
- Khi đó parabol cắt d tại hai điểm A,B với A,B có hoành độ lần lượt là \(x_A,x_B\) theo vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_A+x_B=a\\x_Ax_B=-\left(2-a\right)\end{cases}}\)ta xét \(x_A+x_B-x_Ax_B=a+\left(2-a\right)=2\left(dpcm\right)\)
