K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 3 2016

Từ giả thiết ta được :

\(\left(z-\omega^k\right)\left(\overline{z-\omega}^k\right)\le1\Rightarrow\left|z\right|^2\le z\overline{\omega^k}+\overline{z}\omega^k,k=0,1,.....,n-1\)

Lấy tổng các hệ thức trên,

\(n\left|z\right|^2\le z\left(\overline{\Sigma_{k=0}^{n-1}\omega^k}\right)+\overline{z}\Sigma_{k=0}^{n-1}\) \(\omega=0\)

Do đó z=0

8 tháng 4 2016

Giả sử: \(z=x+yi\) \((x;y\in|R)\)

Ta có: \((1+i)z+2\overline{z}=2\)

  <=> \((1+i)(x+yi)+2(x-yi)=2\)

  <=> \(x+yi+xi-y+2x-2yi-2=0\)

  <=> \((3x-y-2)+(x-y)i=0\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} 3x-y&=2\\ x-y&=0 \end{cases} \end{align}\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} x&=1\\ y&=1 \end{cases} \end{align}\)

=> \(z=1+i\)

Ta có: \(\omega=z+2+3i \)

               \(=1+i+2+3i\)

               \(=3+4i\)

=> \(|\omega|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

8 tháng 4 2016

Đặt \(z=a+bi\left(a,b\in R\right)\)

Theo bài ta có : \(\begin{cases}3a-b=2\\a-b=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\) nên \(z=1+i\)

Khi đó \(\omega=z+2+3i=1+i+2+3i=3+4i\)

Vậy \(\left|\omega\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

25 tháng 3 2016

Từ hệ thức :

\(y=tx+\left(1-t\right)z\)

Bất đẳng thức 

\(\frac{\left|z\right|-\left|y\right|}{\left|z-y\right|}\ge\frac{\left|z\right|-\left|x\right|}{\left|z-x\right|}\)

Trở thành :

\(\left|z\right|-\left|y\right|\ge t\left(\left|z\right|-\left|x\right|\right)\)

hay 

\(\left|y\right|\le\left(1-t\right)\left|z\right|+t\left|x\right|\)

Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho 

\(y=\left(1-t\right)x+tx\) ta có kết quả

Bất đẳng thức thứ hai, được chứng minh tương tự bởi

\(y=tx+\left(1-t\right)z\)

tương đương với :

\(y-x=\left(1-t\right)\left(z-x\right)\)

 

19 tháng 8 2019

Nếu z = a + bi thì z +  z  = 2a ∈ R; z. z  = a 2  + b 2  ∈ R

z và  z  là hai nghiệm của phương trình (x − z)(x −  z ) = 0

⇔ x 2  − (z +  z ) x + z. z  = 0

⇔  x 2  − 2ax + a 2  + b 2  = 0

14 tháng 9 2018

Nếu z = a + bi thì z +  z  = 2a  ∈  R; z. z = a 2 + b 2   ∈ R

z và  z  là hai nghiệm của phương trình (x − z)(x −  z ) = 0

⇔  x 2  − (z +  z ) x + z. z = 0

⇔  x 2  − 2ax +  a 2 + b 2  = 0

28 tháng 3 2022

A bạn nhá

 

1. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+i | = | z-2-3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z+2+i | + | z-3+2i | 2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-i | = 2. Biết rằng | z | lớn nhất. Tìm phần ảo của z 3. Cho số phức z thỏa \(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\). Tìm phần ảo của số phức z 4. Cho 2 số phức z = m + 3i, z' = 2 - (m + 1)i. Tìm giá trị thực của m để z.z' là số...
Đọc tiếp

1. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+i | = | z-2-3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z+2+i | + | z-3+2i |

2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-i | = 2. Biết rằng | z | lớn nhất. Tìm phần ảo của z

3. Cho số phức z thỏa \(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\). Tìm phần ảo của số phức z

4. Cho 2 số phức z = m + 3i, z' = 2 - (m + 1)i. Tìm giá trị thực của m để z.z' là số thực

5. Cho 3 điểm A, B, M lần lượt biểu diễn các số phức -4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng?

6. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Xác định phần ảo của số phức \(3z_1-2z_2\)

7. Nếu mô đun số phức z bằng m thì mô đun của số phức \(\left(1-i\right)^2z\) bằng?

8. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+3i | = 3. Tìm min | z-1-i |

9. Trong mặt phẳng phức tìm điểm biểu diễn số phức z = \(\frac{i^{2017}}{3+4i}\)

10. Trong mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Oxy, điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b \(\in\) R luôn nằm trên đường có phương trình là: A. y = x B. x = 3 C. y = x + 3 D. y = 3

11. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Tổng hai số phức là?

12. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\)

13. Ký hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(z^2+z+1=0\). Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w=\frac{i}{z_0}\): A. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) D. \(M\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

14. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z+7-5i | = | z-1-11i |. Biết rằng số phức z = x + yi thỏa mãn \(\left|z-2-8i\right|^2+\left|z-6-6i\right|^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \(p=x^2-y^2\)?

15. Gọi \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2z^2-6z+5=0\). Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \(iz_0\): A. \(M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\) D. \(M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\)

16. Tính mô đun của số phức \(w=z^2+i\overline{z}\) biết z thỏa mãn \(\left(1+2i\right)z+\left(2+3i\right)\overline{z}=6+2i\)

17. Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn 3 số phức \(z_1=1+i\), \(z_2=\left(1+i\right)^2\), \(z_3=a-i\left(a\in R\right)\). Để tam giác ABC vuông tại B thì A bằng? A. -3 B. 3 C. -4 D. -2

18. Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)z = 3+i. Tính giá trị biểu thức \(\left|z\right|^4-\left|z\right|^2+1\)

19. Cho số phức z = a + (a-1)i (a\(\in R\)). Giá trị thực nào của a để | z | = 1 ?

20. Cho số phức z thoả mãn hệ thức | z+5-i | = | z+1-7i |. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = | |z-4-i| - |z-2-4i| |

21. Trong các số phức z = a + bi thỏa mãn | z-1+2i | =1, biết rằng | z+3-i | đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(p=\frac{a}{b}\)

22. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(z_1=-1+3i\), \(z_2=-3-2i\), \(z_3=4+i\). Chọn kết luận đúng nhất: A. Tam giác ABC cân B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuông D. Tam giác ABC vuông cân

23. Cho số phức z = 5-3i. Tính \(1+\overline{z}+\left(\overline{z}\right)^2\)

24. Cho \(f\left(z\right)=z^3-3z^2+z-1\) với z là số phức. Tính \(f\left(z_0\right)-f\left(\overline{z_0}\right)\) biết \(z_0=1-2i\)

25. Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 - i = 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M (3;-4) là: A. \(\sqrt{13}\) B. \(2\sqrt{2}\) C. \(2\sqrt{5}\) D. \(2\sqrt{10}\)

6
NV
26 tháng 4 2019

Câu 1:

Gọi \(A\left(1;-1\right)\)\(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)

Gọi \(M\left(-2;-1\right)\)\(N\left(3;-2\right)\)\(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN

Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d

Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng

Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)

Bài 2:

Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)

Câu 3:

\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)

\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)

NV
26 tháng 4 2019

Câu 4

\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)

\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)

Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)

Câu 6:

\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)

\(\Rightarrow b=12\)

Câu 7:

\(w=\left(1-i\right)^2z\)

Lấy môđun 2 vế:

\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)

Câu 8:

\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)

\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)

25 tháng 3 2016

Đặt \(w=y-1+yi,y\in R\)

Là đủ nếu chứng minh được, tồn tại số thực duy nhất x sao cho 

\(\left(x-1\right)^2+x^2\le\left(y-1\right)^2+y^2\) với mọi \(y\in R\)

Nói cách khác, x là điểm cực tiểu hàm số :

\(f:R\rightarrow R,f\left(y\right)=\left(y-1\right)^2+y^2=2y^2-2y+1=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

Do đó, điểm cực tiểu là 

\(x=\frac{1}{2}\Rightarrow z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\)