Question

[Liễu Dương]

Cho nửa đường tròn (O) bán kính R; đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy M sao cho AM>R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D.

a, Chứng minh: MD=MA + BD và \(\Delta\)OMD vuông.

b, Cho AM = 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM.

c, Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh: OK \(\perp\)BM

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: MA=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DC=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+CD=MD(C nằm giữa M và D)

mà MC=MA(cmt)

và DC=DB(cmt)

nên MD=MA+BD(đpcm)

Ta có: MA=MC(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC

hay MO⊥AC

Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,C,B∈(O))

AB là đường kính của (O) 

Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)

⇒CA⊥CB

Ta có: CA⊥CB(cmt)

MO⊥CA(cmt)

Do đó: BC//MO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Ta có: DC=DB(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của BC

hay OD⊥BC

Ta có: BC//MO(cmt)

BC⊥OD(cmt)

Do đó: MO⊥OD(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔMOD có MO⊥OD(cmt)

nên ΔMOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)