Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(BM=2MA\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\); \(AN=3NC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\left(\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{5}{16}AB^2-\dfrac{3}{16}AD^2=\dfrac{1}{8}AB^2=\dfrac{1}{8}\) (chú ý rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) và \(AB=AD=1\))
Phương trình đường thẳng AM: \(ax+by-\dfrac{11}{2}a-\dfrac{1}{2}b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)
Giả sử cạnh hình vuông có độ dài là \(a\)
\(AM^2=\dfrac{5}{4}a^2;AN^2=\dfrac{10}{9}a^2;MN^2=\dfrac{25}{36}a^2\)
Theo định lí cos: \(cosMAN=\dfrac{AM^2+AN^2-MN^2}{2.AM.AN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\3a=-b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AM:3x+y-17=0\\AM:x-3y-4=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(AM:3x+y-17=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}3x+y-17=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(4;5\right)\)
TH2: \(AM:x-3y-4=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-4=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(1;-1\right)\)
Chọn C.
Ta có
Suy ra
Mặt khác