Question

[Uchiha Itachi]

Cho hình vuông ABCD cạnh a, E ∈ BC, F ∈ AD sao cho CE = AF; AE, BF cắt CD lần lượt tại M, N.

a) cm: CM.DN không đổi.

b) K là giao điểm của AN và BM. cm : góc MKN = 90^o.

c) Các điểm E, F có vị trí như thế nào để MN bé nhất

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) $AF=CE, AD=BC\Rightarrow DF=BE$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$

$\Rightarrow AB\parallel DN, CM$. Áp dụng định lý Talet:

\(\frac{AB}{DN}=\frac{AF}{DF}=\frac{CE}{BE}\)

$\frac{AB}{CM}=\frac{BE}{CE}$

Nhân theo vế 2 đẳng thức trên suy ra:

$\frac{AB^2}{DN.CM}=1\Rightarrow DN.CM=AB^2$ không đổi.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên:

$DN.CM=AB^2=AD.BC$

$\Rightarrow \frac{DN}{AD}=\frac{BC}{CM}$

$\Rightarrow \triangle DAN\sim \triangle CMB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AND}=\widehat{MBC}=90^0-\widehat{BMC}$

hay $\widehat{KNM}=90^0-\widehat{KMN}$

$\Rightarrow \triangle KMN$ vuông tại $K$

$\Rightarrow \widehat{MKN}=90^0$

c)

$MN=DN+CM+DC=DN+CM+AB\geq 2\sqrt{DN.CM}+AB$ theo BĐT AM-GM$

hay $MN\geq 2\sqrt{AB^2}+AB=3AB$

Vậy $MN_{\min}=3AB$. Giá trị này đạt được khi $DN=CM$

$\Leftrightarrow \frac{DN}{AB}=\frac{CM}{AB}$

$\Leftrightarrow \frac{DF}{FA}=\frac{EC}{BE}$

$\Leftrightarrow \frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BE}$

$\Leftrightarrow BE=EC$ hay $E$ là trung điểm của $BC$. Điều này kéo theo $F$ là trung điểm của $AD$.