Question

[Zoro_Mắt_Diều_Hâu]

Cho hình chữ nhật ABCD có góc BDC=30 độ , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt BD tại E và cắt tia phân giác góc ADB ở M.Gọi N là hình chiếu của M trên DA,k là hình chiếu của M trên AB.Chứng minh

a,AMBD là hình thang cân 

b, 3 điểm N,K,E thẳng hàng

Answer 1

[OoO Kún Chảnh OoO]

 a) Chứng minh rằng AMBD là hình thang cân: 
BDC^ = 30* => ADB^ = 60* 
DM là phân giác của ADB^ => ADM^ = MDE^ = CDE^ = 30* (1) 
=> DE là phân giác vừa là đường cao của Δ CDM (DE L CM) => Δ CDM cân 
lại có: CDM^ = 60* => CDM là Δ đều 
BCM^ = BDC^ = 30* ( góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
DE là trung trực của CM, B thuộc DE => BC = BM => BMC^ = BCM^ = 30* 
=> MBD^ = 60* = ADB^ (*) 
=> Δ ADM = Δ BCM ( MD=MC, AD=BC,BMC^ = BCM^ ) 
=> AMD^ = BMC^ = 30* (2) 
(1) và (2) => AMD^ = BDM^ = 30* (BDM^ = MDE^) 
=> AM // BD (**) ( AM và BD có 2 góc ở vị trí so le trong = nhau) 
(*) và (**) => AMBD là hình thang cân 

b) Gọi N là hình chiếu của M trên DA, K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng ba điểm N, K, E thẳng hàng. 
gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD., 
Δ OBC là tam giác đều ( OB=OC và CBO^ = 60*) , CE L BO => E là trung điểm của BO. 
cm trên có Δ ADM = Δ BCM => MA = MB mà MK L AB => K là trung điểm của AB 
=> KE là đường trung bình của Δ BOM => KE // BM (***) 
AKMN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) => MN //= AK => MN //= BK ( vì K là trung điểm AB) 
=> BMNK là hình bình hành => NK // BM (****) 
(***) và (****) => N,K,E thẳng hàng 
NK // KE và có điểm K chung.