Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)
Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)
Đồ thị hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)
Với điều kiện (*) thì đồ thị có 3 điểm cực trị là :
\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)
Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.
Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)
Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)
b) Ta có yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)
Ta có : y’ = 4x3-4( m+ 1) x= 4x( x2- (m+ 1) ).
Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm phân biệt hay m+1> 0 suy ra m> - 1. (*)
Khi đó, ta có:
Do đó O A = B C ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m 2 - 4 m - 4 = 0 ( ∆ ' = 8 ) ⇔ m = 2 ± 2 2 (thỏa mãn (*)).
Vậy m = 2 ± 2 2 .
Chọn A.
Chọn A
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :
y ' có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > - 1 ( * )
Khi đó, ta có y ' = 0
(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử
Ta có: O A ( 0 ; m ) ⇒ O A = m ⇒ B C = 2 m + 1
Do đó OA = BC
⇔ m = 2 ± 2 2 ( t h ỏ a m ã n ) ( * )
Vậy m = 2 ± 2 2
Chọn D
T a c ó y ' = 3 x 2 - 6 ( m + 1 ) x + 12 m
Hàm số có hai cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
A ( 2 ; 9 m ) , B ( 2 m - 4 m 3 + 12 m 2 - 3 m + 4 )
ABC nhận O làm trọng tâm
Ta có đạo hàm y’ = 3x2- 6( m+ 1) x+ 12m.
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Hay (m-1) 2> 0 suy ra m≠1 ( *)
Khi đó hai điểm cực trị là A( 2; 9m) : B( 2m; -4m3+ 12m2-3m+ 4).
Tam giác ABC nhận O làm trọng tâm
⇔ 2 + 2 m - 1 = 0 - 4 m 3 + 12 m 2 + 6 m + 4 - 9 2 = 0 ⇔ m = - 1 2 t h ỏ a ( * ) .
Chọn A.
Chọn D
Ta có y ' = - 3 x 2 + 3 m
y ' = 0 ⇔ x 2 - m = 0 (*)
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị
⇔ P T ( * ) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 ( * * )
Khi đó 2 điểm cực trị
Tam giác OAB vuông tại O
V ậ y m = 1 2
nếu có đáp án trắc nghiệm thì theo mình làm bài này nhanh như sau:
tìm tập xác định D=R
tính y', tìm điều kiện để cho hàm số có 3 điểm cực trị là pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
áp dụng công thức tính nhanh :b^2 -6ac, suy ra m , kết hợp với điều kiện hàm số có 3 điểm cực trị, suy ra m cần tìm
lưu ý: công thức mình đưa ra là b^2-6ac chỉ áp dụng cho hàm bậc 4 trùng phương, 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác và có trọng tâm là gốc tọa độ.
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
