Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số g x = ∫ x x 2 d t ln t  với x > 1. Tìm tập giá trị T của hàm số 

A.  T = 0 ; + ∞

B. T = [ 1 ; + ∞ )

C.  T = - ∞ ; ln 2

D.  T = ln 2 ; + ∞

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Ta có g ' x = 2 x 1 ln x 2 - 1 ln x = x - 1 ln > 0 , ∀ x > 1 ⇒ g(x) đồng biến trên  1 ; + ∞

Suy ra tập giá trị của hàm số g(x) là  T = g 1 + ; g + ∞

Do 1 ln t  là hàm số nghịch biến nên g x ≥ x 2 - x 1 ln x 2 → + ∞  khi  x → + ∞

Do đó  g + ∞ = + ∞

Để tính g 1 +  đặt t = e x , ta được  g x = ∫ ln x 2 ln x e v v d v

Khi đó  g x < e 2 ln x = ∫ ln x 2 ln x d v v = x 2 ln 2

Chứng minh tương tự, ta thu được g(x) > xln(2)

Theo định lí kẹp, ta suy ra  g 1 + = ln 2

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là  T = ln 2 ; + ∞

Đáp án D