M
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
M
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{a^3}.\sqrt{a}}=2a$
$\sqrt{b^3}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{b^3}.\sqrt{b}}=2b$
Cộng hai BĐT trên ta có:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2(a+b)$
$\Rightarrow B+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 4(1)$
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (a+b)(1+1)=2.2=4\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow B\geq 4-2=2$
Vậy $B_{\min}=2$.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
\(A=\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)+\left(ab+\dfrac{16}{ab}\right)+\dfrac{17}{2ab}\)
\(A\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{16ab}{ab}}+\dfrac{17}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\dfrac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}+8+\dfrac{34}{4^2}=\dfrac{83}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
15 tháng 11 2021
\(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\\ A=\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\left(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}\right)\\ A=\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\\ A\ge2\sqrt{\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{3}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{2}\cdot\dfrac{9}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{c}{4}\cdot\dfrac{4}{c}}+\dfrac{1}{4}\cdot20\\ A\ge3+3+2+5=13\\ A_{min}=13\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
SW
1
28 tháng 5 2021
Ta có \(12=a+b+2ab\le a+b+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)-24\ge0\Leftrightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-4\right)\ge0\Leftrightarrow a+b\ge4\) (Do a + b + 6 > 0)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 2.
RH
15 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).
NT
1
28 tháng 5 2021
\(A=a+b=12-2ab\ge12-2\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=12-\frac{A^2}{2}\)
Vậy \(A^2+2A-24\le0\)
\(-6\le A\le4\)
Vậy \(A_{min}=-6\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{a^3}.\sqrt{a}}=2a$
$\sqrt{b^3}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{b^3}.\sqrt{b}}=2b$
Cộng hai BĐT trên ta có:
$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2(a+b)$
$\Rightarrow B+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 4(1)$
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (a+b)(1+1)=2.2=4\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow B\geq 4-2=2$
Vậy $B_{\min}=2$.