Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH^2=BH\cdot CH\)
\(\Leftrightarrow AH^2=9\cdot16=144\)
hay AH=12(cm)
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{EAD}=90^0\)
\(\widehat{ADH}=90^0\)
\(\widehat{AEH}=90^0\)
Do đó: ADHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=DE(Hai đường chéo)
mà AH=12(cm)
nên DE=12cm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: AC^2 = AB^2 + BC^2. Với AB = 12cm và BC = 20cm, ta có: AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. Do đó, AC = √544 ≈ 23.32cm.
Để tính góc B, ta sử dụng công thức sin(B) = BC/AC. Với BC = 20cm và AC = 23.32cm, ta có: sin(B) = 20/23.32 ≈ 0.857. Từ đó, góc B ≈ arcsin(0.857) ≈ 58.62°.
Để tính AH, ta sử dụng công thức cos(B) = AH/AC. Với góc B ≈ 58.62° và AC = 23.32cm, ta có: cos(B) = AH/23.32. Từ đó, AH = 23.32 * cos(58.62°) ≈ 11.39cm.
b) Ta cần chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2. Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AC = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) HB = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông)
Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AE.AC = (AB * sin(B)) * (AB * cos(B)) = AB^2 * sin(B) * cos(B) = AB^2 * (sin(B) * cos(B)) = AB^2 * (sin^2(B) / sin(B)) = AB^2 * (1 - sin^2(B)) = AB^2 * (1 - (sin(B))^2) = AB^2 * (1 - (HB/AB)^2) = AB^2 - HB^2
Vậy, ta đã chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2.
c) Ta cần chứng minh AF = AE * tan(B). Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)
Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AF = AB * cos(B) = AB * (cos(B) / sin(B)) * sin(B) = (AB * cos(B) / sin(B)) * sin(B) = AE * sin(B) = AE * tan(B)
Vậy, ta đã chứng minh AF = AE * tan(B).
d) Ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các đường cao trong tam giác vuông ΔABC. CE/BF = AC/AB
Vì ΔABC vuông tại A, ta có: CE = AC * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) BF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)
Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: CE/BF = (AC * cos(B)) / (AB * cos(B)) = AC/AB
Vậy, ta đã chứng minh CE/BF = AC/AB.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)
Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)
\(\Rightarrow MH=AN\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(HN^2=AN\cdot NC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(HM^2=AM\cdot MB\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:
\(AN^2+HN^2=AH^2\)
Mà \(MH=AN\)
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)
\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔABC vuông tại A có AB^2=BH*BC
=>BH(BH+3,2)=9
=>BH=1,8cm
BC=3,2+1,8=5cm
\(AC=\sqrt{3.2\cdot5}=4\left(cm\right)\)
b: \(BD\cdot CE\cdot BC\)
\(=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\cdot BC\)
\(=AH^3=DE^3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a) Áp dụng các công thức trong hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với:
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$
$\Rightarrow AH^2=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$: $AH^2=AE.AC$
$\Leftrightarrow \frac{m^2n^2}{m^2+n^2}=AE.n\Rightarrow AE=\frac{m^2n}{m^2+n^2}$
Hoàn toàn tương tự: $AF=\frac{mn^2}{m^2+n^2}$
b) Đề đúng phải là: $EF^3=AE.BC.AF$
Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF^3=AH^3(*)$
Mặt khác:
Theo phần a: $AH^2=AE.AC=AF.AB$
$\Rightarrow AH^4=AE.AF.AB.AC=AE.AF.2S_{ABC}=AE.AF.AH.BC$
$\Leftrightarrow AH^3=AE.AF.BC(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow EF^3=AE.AF.BC$ (đpcm)
c)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABC$, đường cao $AH$ và tam giác vuoogn $AHC$ đường cao $HE$:
$BF.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$
$\Leftrightarrow BF.\sqrt{CH.CB}+CE.\sqrt{BH.BC}=AH.BC$
$\Leftrightarrow BF. \sqrt{AC^2}+CE.\sqrt{AB^2}=AH.BC$
$\Leftrightarrow BF.AC+CE.AB=AH.BC$
$\Leftrightarrow (BA-AF)AC+CE.AB=AH.BC$
$\Leftrightarrow AF.AC=CE.AB$
$\Leftrightarrow $AF.AC=\frac{HE^2}{AE}.AB$
$\Leftrightarrow AF.AC=\frac{AF^2}{AE}.AB$
$\Leftrightarrow AE.AC=AF.AB$ (luôn đúng vì cùng bằng $AH^2$)
Vậy........