Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2:
a: \(u_1=\dfrac{2-1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(u_2=\dfrac{2\cdot2-1}{2+1}=1\)
\(u_3=\dfrac{2\cdot3-1}{3+1}=\dfrac{5}{4}\)
\(u_4=\dfrac{2\cdot4-1}{4+1}=\dfrac{7}{5}\)
b: Đặt \(\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{13}{7}\)
=>7(2n-1)=13(n+1)
=>14n-7=13n+13
=>n=20
=>13/7 là số hạng thứ 20 trong dãy
1:
a: u1=1^2-1=0
u2=2^2-1=3
u3=3^2-1=8
u4=4^2-1=15
b: 99=n^2-1
=>n^2=100
mà n>=0
nên n=10
=>99 là số thứ 10 trong dãy
1:
a:
u1=1^2+1=2
u2=2^2+1=5
u3=3^2+1=10
u4=4^2+1=17
b: Đặt 101=n^2+1
=>n^2=100
=>n=10
=>101 là số hạng thứ 10
2:
a: \(u1=\dfrac{1+1}{2-1}=2\)
\(u2=\dfrac{2+1}{2\cdot2-1}=\dfrac{3}{3}=1\)
\(u_3=\dfrac{3+1}{2\cdot3-1}=\dfrac{4}{5}\)
\(u_4=\dfrac{4+1}{2\cdot4-1}=\dfrac{5}{7}\)
b: Đặt \(\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{31}{59}\)
=>59(n+1)=31(2n-1)
=>62n-31=59n+59
=>3n=90
=>n=30
=>31/59 là số hạng thứ 30 trong dãy
a) Ta có:
\(u_2=2u_1=2.3\\ u_3=2u_2=2.2.3=2^2.3\\ u_4=2u_3=2.2^2.3=2^3.3\)
b) \(u_n=2^{n-1}.3\)
a) \({v_n} = {u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{n} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2n}}{n} = \frac{1}{n}\).
Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k = 1\), ta có: \(\lim {v_n} = \lim \frac{1}{n} = 0\).
b) \({u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{1} = 3,{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{2} = \frac{5}{2},{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{3} = \frac{7}{3},{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{4} = \frac{9}{4}\)
Biểu diễn trên trục số:
Nhận xét: Điểm \({u_n}\) càng dần đến điểm 2 khi \(n\) trở nên rất lớn.
\(\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=3.\dfrac{u_n}{n}\)
Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{3}\\v_{n+1}=3v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}.3^{n-1}=3^{n-2}\)
\(\Rightarrow S=3^{-1}+3^0+...+3^8=...\)
a) Ta có: \({u_2} = {u_1} + d\)
\({u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d\)
\({u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d\)
\({u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d\)
b) Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\):
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
a) \({u_2} = {u_1}.q\)
\({u_3} = {u_2}.q = {u_1}.{q^2}\)
\({u_4} = {u_3}.q = {u_1}.{q^3}\)
\({u_5} = {u_4}.q = {u_1}.{q^4}\)
b) Từ a suy ra: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\).
\(\dfrac{1}{u_n-1}=\dfrac{1}{\dfrac{2^n-5^n}{2^n+5^n}-1}=\dfrac{2^n+5^n}{-2.5^n}=-\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+1\right]\)
\(\Rightarrow S_n=-\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^1+\left(\dfrac{2}{5}\right)^2+...+\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+n\right]\)
Lại có: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^1+\left(\dfrac{2}{5}\right)^2+...+\left(\dfrac{2}{5}\right)^n=\dfrac{2}{5}.\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n}{1-\dfrac{2}{5}}=\dfrac{2}{3}\left[1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right]\)
\(\Rightarrow S_n=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n+n\right]=...\)
a)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {{q^2} + 1} \right) = 15\left( 1 \right)\\{u_1}.q\left( {{q^2} - 1} \right) = 6\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \(q = \pm 1\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{q}{{{q^2} + 1}} = \frac{6}{{15}} \Leftrightarrow 15q = 6\left( {{q^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 15q = 6{q^2} + 6 \Leftrightarrow 6{q^2} - 15q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\)
Với \(q = \frac{1}{2}\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.\frac{1}{2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = - 16\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.2\left( {{2^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = - 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^4} = 65\\{u_1} + {u_1}.{q^6} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65\left( 1 \right)\\{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{{65}}{{325}} \Leftrightarrow \frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5 - 5{q^2} + 5{q^4} \Leftrightarrow {q^6} - 5{q^4} + 5{q^2} - 4 = 0\end{array}\)
Đặt \({q^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\). Khi đó phương trình có dạng:
\({t^3} - 5{t^2} + 5t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow {q^2} = 4 \Leftrightarrow q = \pm 2\)
Với \(q = - 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {{\left( { - 2} \right)}^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {2^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = - 2\).
a: u1=3-1=2
u2=6-1=5
u3=9-1=8
u4=12-1=11
u5=15-1=14
b: \(u_{n+1}-u_n=3\left(n+1\right)-1-3n+1\)
=3n+3-3n
=3>0
=>Đây là dãy số tăng