Question

[Truong Lee]

cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O . gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC . gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB, Q là trng điểm của FE

a/ cm MFEC nội tiếp

b/ cm BM.È=BA.ME

c/cm ΔAMP∼ΔFMQ

d/ cm ∠PQM=90

Answer 1

[An Thy]

a) Ta có: \(\angle MFC=\angle MEC=90\Rightarrow MFEC\) nội tiếp

b) Ta có: \(\angle MFE=180-\angle MCE=\angle MAB\)

\(\angle FME=\angle FCE=\angle AMB\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta MFE\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MFE=\angle MAB\\\angle FME=\angle AMB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta MFE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{ME}{FE}\Rightarrow BM.FE=ME.BA\)

c) Ta có: \(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta MFE\Rightarrow\dfrac{MF}{FE}=\dfrac{MA}{AB}\Rightarrow2\dfrac{MF}{FE}=2\dfrac{MA}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MF}{FQ}=\dfrac{MA}{AB}\)

Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta FMQ\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MFQ=\angle MAP\\\dfrac{MF}{FQ}=\dfrac{MA}{MB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMP\sim\Delta FMQ\left(c-g-c\right)\)

d) Kẻ \(MD\bot AB\left(D\in AB\right)\)

Ta có: \(\angle MDA+\angle MFA=90+90=180\Rightarrow\) MDAF nội tiếp

\(\Rightarrow\angle DFA=\angle DMA=90-\angle DAM\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle EFC=\angle EMC=90-\angle MCB\)

mà \(\angle DAM=\angle MCB\) (AMCB nội tiếp)\(\Rightarrow\angle DFA=\angle EFC\)

mà A,F,C thẳng hàng \(\Rightarrow\) \(\)D,F,E thẳng hàng

Ta có: \(\angle MQF=\angle MPA\left(\Delta MFQ\sim\Delta MAP\right)\Rightarrow\angle MQD=\angle MPD\)

\(\Rightarrow\) MDPQ nội tiếp mà \(\angle MDP=90\Rightarrow\angle PQM=90\)