Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương nên xy-7>0.
Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)
Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :
\(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)
\(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)
\(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)
Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)
Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)
Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)
Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)
Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Dấu \(=\)khi \(x=y\).
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)
Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{\frac{yz}{x}};\sqrt{\frac{zx}{y}};\sqrt{\frac{xy}{z}}\right)\)\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(A=\Sigma\frac{1}{1-ab}=\Sigma\frac{2ab}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2ab}+3\le\frac{1}{2}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2+c^2+c^2+a^2}\)
\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{9}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
