Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y\ge1+xy\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{y}+x\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le4\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(G=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Ta có: \(15=x+y+xy\le x+y+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{t^2}{4}+t\ge15\)(\(t=x+y\))
\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+10\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t\le-10\end{cases}}\)
\(P=x^2+y^2=\frac{1}{2}.2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\frac{1}{2}.6^2=18\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=3\).
Có xy ≤ 1/4 (x+y)^2
=> 3xy ≤ 3/4 (x+y)^2
=> T = x^2-xy+y^2 = (x+y)^2 - 3xy ≥ (x+y)^2 - 3/4 (x+y)^2 = 1/4 (x+y)^2
=10201/4
Dấu = xảy ra khi x=y=101/2
T = (x+y)^2 - 3xy <= (x+y)^2 = 101^2 = 10201
Dấu = xảy ra khi 1 số = 0, 1 số = 101
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau: \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)
\(by^2+z^2\ge2byz\)
\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)
Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có:
\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)
Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết ) thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)
Mình nghĩ thế này ạ
xy + 2(yz + xz) =5 => xy + 2yz + 2xz =5
Mình áp dụng bất đẳng thức này nhé :)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge xy\forall x,y\)(1)
Chứng minh tương tự ta được \(y^2+z^2\ge2yz\forall y,z\)(2)
\(x^2+z^2\ge2xz\forall x,z\)(3)
Cộng vế (1) (2) (3) ta được \(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+y^2+z^2+x^2+z^2\ge xy+2yz+2xz\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+x^2+y^2+z^2+z^2\)\(\ge5\)\(\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2+2z^2\ge5\forall x,y,z\)
nhân cả 2 vế với 2 nè
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\ge10\forall x,y,z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z;x=z\\xy+2\left(yz+xz\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+2.\left(x^2+x^2\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\5x^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}}\)x=y=z = 1 hoăc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 10 tại x=y=z=1;-1
Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\x^2+y^2\ge2xy\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(x^2+y^2\right)\ge2x+2y+2xy\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2x+2y+2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x+y+xy\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\ge15\Rightarrow A=x^2+y^2\ge13\)
Bài dưới sai rồi; lm lại
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\\\left(y-3\right)^2\ge0\\\left(x-y\right)^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+9\ge6x\\y^2+9\ge6y\\x^2+y^2\ge2xy\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2+9\ge6x\\y^2+9\ge6y\\3x^2+3y^2\ge6xy\end{cases}}}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(4x^2+4y^2+18\ge6\left(x+y+xy\right)\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{6\left(x+y+xy\right)-18}{4}=\frac{6.15-18}{4}=18\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=3\)