Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(gt) => 1/ a^100(1-a) = b^100(b-1) => (a/b)^100(1-a)=(a/b)^101(1-a) (=b-1)
2/ a^101(1-a) = b^101(b-1)
=>(a/b)^100(1-a/b)(1-a)=0 => a=b V a=1
TH a=b: => a=b=1
TH a=1: => b=1
Vậy trong cả hai TH đều có a=b=1 => P=a^2014+b^2014=2
Câu hỏi của I have a crazy idea - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Đã là bồi dưỡng HSG thì em phải chấp nhận làm các bài khó. Cố lên! Em có thể tham khảo thêm :)))
Ta có:
\(0=a^{100}+b^{100}-\left(a^{101}+b^{101}\right)\)
\(=a^{101}+b^{101}-\left(a^{102}+b^{102}\right)\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(1-a\right)+b^{100}\left(1-b\right)\)
\(=a^{101}\left(1-a\right)+b^{101}\left(1-b\right)\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(1-a\right)^2+b^{100}\left(1-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=1\)
Thay \(a=b=1\) vào biểu thức ta được:
\(P=a^{2014}+b^{2015}=1^{2014}+1^{2015}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(P=2\)
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
*)Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với \(\left(1\right)\)
*)Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với \(\left(1\right)\)
*)Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)
Ta có:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)
Lại có:
\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\) (theo (2))
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\) (do \(a>0\))
\(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow P=1^{2014}+1^{2014}=2\)
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0 (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b) (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0 (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>
=>
Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1 (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
\(\Rightarrow\)\(P=1^{2014}+1^{2015}=1+1=2\)
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0 (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b) (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0 (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>
=>
Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1 (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
Ta có đẳng thức: \(a^{102}+b^{102}=\left(a^{101}+b^{101}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{100}+b^{100}\right)\) với mọi số a,b
Kết hợp với: \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow1=\left(a+b\right)-ab\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\Rightarrow1+b^{100}=1+b^{101}=1+b^{102}\Rightarrow b=1\\b=1\Rightarrow1+a^{100}=1+a^{101}=1+a^{102}\Rightarrow a=1\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(P=a^{2014}+b^{2014}=1^{2004}+1^{2005}=2\)