Question

[Long Phạm]

Cho BC=2a ( a>0 ). Một điểm A di động sao cho góc BAC=90 độ. AH vuông góc BC, HF vuông góc AC, HE vuông góc AB

Tìm điều kiện của tam giác ABC để BE^2+CF^2 có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Lê Anh Tú]

  Ta có AB^2=AH^2+BH^2 (vi tam giac ABH vuong ơ H) .

Tương tư ta có AC^2=AH^2+CH^2 .=>AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2 .

<=>BC^2=2AH^2+BH^2+CH^2 (1) .

Lai co BH^2=BE^2+EH^2 ..................... CH^2=CF^2+HF^2 .

=>BH^2+CH^2=BE^2+CF^2+(EH^2+FH^2)=BE^2+... (vì AH^2=EH^2+FH^2) .

Thay vào (1) ta có BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2. .

Ta có BE^2=BH^2-EH^2 ..................... CF^2=CH^2-HF^2 .

=>BE^2+CF^2=(BH^2+CH^2)-(EH^2+FH^2)=(BH... . =(BH+CH)^2-2BH*CH-AH^2

=BC^2-2AH^2-AH^2 (vi tam giac ABC vuong o A nen BH*CH=AH^2) .=4a^2-3AH^2 .

Đê BE^2+CF^2 đat min thì AH^2 dat max hay tưc là AH max .

Do goc BAC=90 nen A thuoc đương tròn đương kinh BC .

=>AH lơn nhat khi A là diem chinh giua cung BC.

Hay tam giac ABC vuong can ơ A .(chú ý bài toan chi yeu câu tim ĐK cua tam giac ABC nen ta khong can tim min cua BE^2+CF^2)

Vậy.............

Answer 2

[Long Phạm]

Bổ sung câu hỏi chứng minh BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2