Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có P=\(\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)
Áp dụng bđt cố si ta có
\(\sqrt{a-1}\le\frac{1}{2}\left(a-1+1\right)=\frac{1}{2}a\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự mấy cái kia rồi + vào, để ý dấu =
Bạn tham khảo tại đây ạ!
Câu hỏi của danh Vô - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cần điều kiện a;b;c dương
\(\dfrac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\) ; \(\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc+ca}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ca+ab}{b+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Ta chứng minh
\(\sqrt{a+bc}\ge1a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-a-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta suy ra được
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Áp dụng BĐT Bunhiakovsky:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\) (1)
Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\) (2)
và: \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\) (3)
Cộng (1), (2) và (3), kết hợp với a+b+c=1 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) ... \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Trong câu hỏi tương tự có người làm rồi đó bạn:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/513461.html
\(1,\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(A^2=\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{x+7}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(3-x+x+7\right)=2\cdot10=20\)
Dấu \("="\Leftrightarrow3-x=x+7\Leftrightarrow x=-2\)
\(A^2=3-x+x+7+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\\ A^2=10+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\ge10\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-7\end{matrix}\right.\)
Dạng này chú ý điểm rơi một tí nhé zZz Cool Kid zZz
Có: \(bc\sqrt{a-2}=\frac{bc}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left(a-2\right)}\le\frac{abc}{2\sqrt{2}}\)
+) \(ca\sqrt[3]{b-6}=\frac{ca}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{3.3.\left(b-6\right)}\)\(\le\frac{abc}{3\sqrt[3]{9}}\)
+) \(ab\sqrt[4]{c-12}=\frac{ab}{\sqrt[4]{4^3}}.\sqrt[4]{4.4.4.\left(c-12\right)}\le\frac{abc}{4\sqrt[4]{4^3}}\)
Đến đây cộng theo vế 3 BĐT trên rồi đặt nhân tử chung ra ngoài (nhân tử chung là abc)
Rút gọn đi là xong:) Số quá xấu:(
\(A=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ca+cb+ab}}\)
\(=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{b+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\)
