Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c>0 CMR
\( \frac{a^3}{bc}+ \frac{b^3}{ac}+ \frac{c^3}{ab}\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} \)
Đầu tiên ta nhắc lại một kết quả sau: Với mọi số dương \(x,y\) thì \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)-4xy\ge0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0.\) (Đúng).
Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(S\) và đặt \(T=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}.\) Áp dụng hằng đẳng thức \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right),\) ta được
\(S-T=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\).
Suy ra \(S=T.\) Ta có
\(2S=S+T=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(=\left(a+b\right)\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+\left(b+c\right)\frac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+\left(c+a\right)\frac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\)
\(\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}.\)
Do đó \(2S\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\to S\ge\frac{a+b+c}{3}.\)
Cho mk hỏi tại sao lại phải đặt thêm biểu thức T vậy ???
Mk vẫn ko hiểu cho lắm !!!
Một số đánh giá: \(a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(ab=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-a\left(ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
\(\ge a-\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}.\left(a+b\right)}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a-b}{2}\)
Tương tự và suy ra đpcm.
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)
Vì a, b, c > 0
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(VT=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{1}{1+ab}=\frac{1}{1+bc}=\frac{1}{1+ca}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\)\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\)\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)(đpcm)
Dau "=" xay ra khi a=b=c
Dùng Cauchy-Schwarz ngon rồi nhưng nếu bạn muốn cách nữa thì dùng AM-GM:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{a^4}=2a^2\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\) \((1)\)
Có BĐT quen thuộc là \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\) \((2)\)
BĐT nàyđúng vì nó tương đương \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq ab+bc+ac\) (đpcm)
