Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình theo một số nguồn trên Internet thì đề đúng là : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}.\)
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)
\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)
Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)
Do a ; b ; c > 0
\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy ...
Ta có 1 + ab2 \(\ge\)\(2b\sqrt{a}\)
1 + bc2 \(\ge2c\sqrt{b}\)
1 + ca2 \(\ge2a\sqrt{c}\)
VT \(\ge\)\(2\left(\frac{b\sqrt{a}}{c^3}+\frac{c\sqrt{b}}{a^3}+\frac{a\sqrt{c}}{b^3}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(\sqrt[4]{b^2a}+\sqrt[4]{c^2b}+\sqrt[4]{a^2c}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge2\frac{\left(3\sqrt[12]{a^3b^3c^3}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{abc}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{b^2c^2}{a^2bc\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{ab^2c\left(a+c\right)}+\dfrac{a^2b^2}{abc^2\left(a+b\right)}\)
\(Cauchy-Schwarz:\)
\(VT\ge\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{abc\left[a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\right]}\)
\(=\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(AM-GM:\)
\(ab+bc+ca\ge\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Lời giải khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
\(\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{b(a+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b^2}}=\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4c^2}}=\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) (AM_GM)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
ta có (a+b+c ) 2 = a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)
Mà a2+b2+c2 >/ ab+bc+ac ( Bạn tự CM: nhân 2 vế với 2 rồi chuyển vế dưa về HDT)
=> (a+b+c ) 2 = 3(ab+bc+ac) => \(a+b+c\ge3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)mà a+b+c=abc
\(a+b+c\ge3\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(a+b+c\ge3.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho $a=b=c=1$ thì thỏa mãn đẳng thức nhưng $abc+1=2\neq 0$
Bạn xem lại đề.
