K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 4 2017

Ta có: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-abc+\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\le1-abc\le1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}b\ge b^2\\c\ge c^3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\le1-abc\le1\)

14 tháng 6 2017

Có :

( 1 - a ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥ 0 ( do a,b,c thuộc [0;1] )

\(\Leftrightarrow\)1 - a - b - c +ab + bc + ca- abc ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) a + b + c - ab - bc -ca \(\le\) 1 - abc

Do a,b,c thuộc [0;1] nên b2\(\le\)b; c3 \(\le\)c và abc \(\le\) 1

Suy ra 1\(\ge\)1 - abc \(\ge\) a + b + c -ab - bc - ca  \(\ge\)a + b2 + c3 -ab - bc - ca

Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1. ( tự thay )

14 tháng 6 2017

Vì a, b, c thuộc đoạn (0,1) nên 1- a, 1 - b, 1 - c \(\ge\)0.

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi có 1 số bằng 1, 2 số còn lại bằng 0

14 tháng 6 2017

À thêm nx b<b^2, c<c^3 vì thuộc  (0,1). Thay vào kết quả trên ta có đpcm

5 tháng 12 2017

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(0\le a\le b\le c\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-c\right)\left(b-a\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow b-a-bc+ac\ge0\Leftrightarrow ac+b\ge a+bc\)

\(\Leftrightarrow ac+b+1\ge a+bc+1\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{ac+b+1}\le\dfrac{a}{a+bc+1}\)(1)

ta cũng có : \(\left(1-b\right)\left(c-a\right)\ge0\Leftrightarrow ab+c\ge a+bc\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+bc+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{b}{a+bc+1}\)\(b\le c\le1\)

nên \(\dfrac{b}{a+bc+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\) \(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\)(2)

ta lại có : \(\dfrac{c}{a+bc+1}\le\dfrac{1}{a+bc+1}\)(3)

Cộng Ba vế BĐT (1) (2) (3) lại với nhau ta có

\(\dfrac{a}{1+b+ac}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\le\dfrac{a+bc+1}{a+bc+1}=1\)

6 tháng 12 2017

không cần giả sử gì hết , phang luôn \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) (:V)

\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow VT\le\sum\dfrac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra : 2 số bằng 1 , số còn lại tùy ý

Mở rộng : \(\forall a,b,c\in\left[0;1\right]\).Cmr:

\(\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)

( Olympic USA 1980 )

5 tháng 12 2017

Ta có: \(1-a\ge0\Leftrightarrow a\le1\Leftrightarrow a+b-b+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{1+b+c}\left(1\right)\)

Tương tự: \(1-b\ge0\Leftrightarrow b\le1\Leftrightarrow b+a-a+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+c+a\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b+c}\ge\frac{b}{1+c+a}\left(2\right)\)

Và: \(1-c\ge0\Leftrightarrow c\le1\Leftrightarrow c+a-a+b-b\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+a+b\)

\(\Leftrightarrow\frac{c}{a+b+c}\ge\frac{c}{1+a+b}\left(3\right)\)

Cộng (1)(2) và (3) vế theo vế:

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\ge\frac{a}{1+b+ac}+\frac{b}{1+c+ab}+\frac{c}{1+a+bc}\)

ĐPCM

5 tháng 12 2017

bạn ơi, bạn xem lại đi. Mẫu của bạn là 1+b+c chứ đâu phải là 1+b+ac. Mấy cái khác cũng thế

10 tháng 11 2017

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a+b}{2}\\y=\frac{c+d}{2}\end{cases}}\)

Ta có:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+1\ge bc+ca+a+b=\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(bc+cd+db+1\ge\left(a+b\right)\left(b+d\right)\left(2\right)\)

\(cd+da+ac+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(3\right)\)

\(da+ab+bd+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(4\right)\)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có:

\(VT\le\frac{a+b+c+d}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{x+y}{2xy}\le\frac{xy+1}{2xy}\left(@\right)\)

Ta lại có:

\(VP\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\left(@@\right)\)

Từ \(\left(@\right),\left(@@\right)\)cái cần chứng minh trở thành.

\(\frac{xy+1}{2xy}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM.

8 tháng 8 2016

B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)

TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)

\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)

Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.

Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)

(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)

TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là 

\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)

Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.

8 tháng 10 2016

dễ quá 

dễ quá

mình biêt s

làm đó