Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)
\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+b-\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+c-\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+ab+b^2\ge3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\\b^2+bc+c^2\ge3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc\\c^2+ca+a^2\ge3\sqrt[3]{c^3a^3}=3ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=\dfrac{a+b}{3}\\\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\le\dfrac{bc\left(b+c\right)}{3bc}=\dfrac{b+c}{3}\\\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\dfrac{ca\left(c+a\right)}{3ca}=\dfrac{c+a}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\ge a+b+c-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\ge\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-5}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{4.3}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{12}{3^2}=\dfrac{4}{3}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)