K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 1 2017

đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z thì x,y,z>0 do a,b,c>0

=>x+y+z=a+b+c

có a=(y+z)/2 , b=(z+x)/2 ,c=(x+y)/2

A=(y+z)/2x + (z+x)/2y + (x+y)/2z =1/2[(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)

Áp dụng bđt cosi : x/y+y/x >= 2,y/z+z/y >= 2,z/x+x/z >= 2 

=>A >= 1/2.6=3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z<=>b+c-a=a+c-b=a+b-c<=>a=b=c <=> tam giác đó là tam gíac đều

31 tháng 1 2017

Áp dụng bđt Cauchy-Schawrz dạng Engel ta có:

A = a^2/ab+ac-a^2  +  b^2/ab+bc-b^2  +  c^2/ac+bc-c^2

A \(\ge\)(a+b+c)^2/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)1  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\) 1 + 2 = 3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

14 tháng 9 2020

hỏi j khó vậy

14 tháng 9 2020

Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a, b, c > 0

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Cộng theo vế ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

16 tháng 10 2020

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc = 0

<=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0

<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

<=> a = b = c

=> tam giác đó là tam giác đều

b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

CM đúng (tự cm tđ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

16 tháng 10 2020

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0

Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc

<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0 

Xét TH còn lại ta có :

a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0

<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 2.0

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2 ) = 0

<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )

2 tháng 1 2018

BĐT Nesbit, gu gồ đã cm

28 tháng 10 2020

Tam giác ABC có ba cạnh a,b,c và có chu vi bằng 1

=> \(a+b+c=1\)

=> \(\hept{\begin{cases}b+c=1-a\\a+c=1-b\\a+b=1-c\end{cases}}\)

Do đó ta viết lại đề bài thành \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Thật vậy, ta có :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)+\left(\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}-3\)( bất đẳng thức Cauchy )

\(=\frac{1}{2}\cdot9-3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

=> Tam giác ABC đều ( đpcm )

28 tháng 10 2020

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\a+c=y\\a+b=z\end{cases}}\)Với (x,y,z>0) và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Ta có \(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

           \(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu ''=''  xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Với x = y = z thì \(a=b=c\)

=> \(\Delta ABC\) đều 

23 tháng 3 2016
Mình mới lớp 5 chưa học đến