Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng cô si ta có
a³/b + ab ≥ 2a²
b³/c + bc ≥ 2b²
c³/a + ac ≥ 2c²
+ + + 3 cái lại
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc
mặt khác ta có
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé)
nhân chéo lên
nhân a+b+c từ 9/a+b+c sang vế trái
vế phải còn 9
sau đó nhân vế trái ra
sử dụng bdt cosi là ra nha bn
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(A=\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}=\dfrac{a-1+1}{\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}}}=2\)
\(A_{min}=2\) khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
áp dụng bất đẳng thức Cô-si
ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc=VP\)
Khi \(a=b=c\) tức \(\Delta ABC\) đều
Không dùng Cauchy kể cũng mệt
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(a^2-2ab+4ab+b^2\ge4ab\)
\(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Tương tự: \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
Nhân từng vế, ta được
\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64x^2y^2z^2\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c, tức là tam giác đó đều
