Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ba+ac+ab}{abc}\)
mà abc = 1
\(\Rightarrow a+b+c=ba+ac+ab\)
Lại có: (a-1).(b-1).(c-1)
= (ab - a - b + 1) . ( c-1)
= abc - ac - bc + c - ab + a + b - 1
= ( abc - 1) +( a+ b + c ) - ( ac + bc + ab)
= ( 1 - 1) + ( a + b + c) - ( a + b + c)
= 0
=> (a-1).(b-1).(c-1) = 0
=> trong 3 số a;b;c tồn tại một số bằng 1
\(abc=1\Rightarrow c=\frac{1}{ab}\)
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)-\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)-\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)-\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(1-\frac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=1\text{ hoặc }b=1\text{ hoặc }c=1\)
Cách khác: Nhân tung \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\) ra, dựa vào giả thiết để suy ra no bằng 0.
\(a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)-\left(a+b\right)+\frac{1}{c}-c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-1\right)-\frac{c^2-1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-1\right)-\frac{\left(c+1\right)\left(c-1\right)}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+1}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+abc}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a+b-1-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left[a-1-b\left(a-1\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)
a(b-1) + c(b-1) + ac -b =0
=> (b-1)(a+c) +ac-abc.b =0
=>(b-1)(a+c) + ac(1-b)(1+b) =0
=> (b-1)(a+c-(ac +abc)) =0
=>(b-1)(a(1-c) +c -1) =0
=> (b-1)(a-1)(c-1) =0
Vậy a =1 hoặc b =1 hoặc c =1
`1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)`
`<=>(a+b)/(ab)+(a+b)/(c(a+b+c))=0`
`<=>(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=0`
`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{array} \right.$
`=>` PT luôn tồn tại 2 số đối nhau
ta có 1/a+1/b+1/c=1/2
=>1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (do a+b+c=2)
=>(1/a-1/a+b+c)+(1/b+1/c)=0
=>b+c/a(a+b+c) +b+c/bc=0
=>(b+c)(1/a(a+b+c) +1/bc)=0
=>(b+c)(bc+a^2 +ab+ac)=0
=>(b+c)(a+b)(a+c)=0
+)Với b+c=0=>a=2
+)với a+b=0=>c=2
+)vói c+a=0=>b=2
Vậy trong 3 số a,b,c tồn tại một số =2
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)(đpcm)